Основные характеристики звезд 13 страница
Не удивил ли вас полученный результат? Как вы думаете, почему же мы не видим Европу простым глазом?
7.13 Действительно,
Здесь мы воспользовались приближенным равенством 
, справедливым при 
, что следует из замечательного предела
Полученная нами формула, связывающая 
и 
, очень полезна. Ее нет ни в одном известном авторам учебнике астрономии, о чем можно только пожалеть.
К планетам эту формулу применять нельзя, точнее, можно применять не всегда (почему?).
7.14 Блеск планеты (орбиту которой мы считаем, естественно, круговой) меняется из-за изменения ее геоцентрического расстояния. Отношение расстояний в противостоянии и в соединении есть
[То, что 
, находим в уме, учтя, что 
]. Но для внешней планеты (у нижних не бывает противостояний!)
где радиус орбиты планеты выражен в а.е. Поэтому
откуда a = 1.5. Это -- Марс.
Впрочем, надеемся, что вы сразу же это сообразили без всякого расчета, едва прочли условие задачи. Всякий, кто интересуется астрономией и хоть немного следил за небом, знает, что ни Юпитер, ни тем более Сатурн так сильно, почти на три с половиной звездных величины, своего блеска не меняют. Расчет подтвердил эту правильную догадку.
7.15 Рассуждая, как в задаче , легко найдем, что большая полуось планеты составляет 5.2 а.е., так что эта планета -- Юпитер. Другой, более простой способ убедиться в этом -- воспользоваться соотношением из задачи , взяв в нем 
, что дает 
-- сразу опознается Юпитер.
|
|
|
Сидерический период обращения Юпитера вокруг Солнца P равен приблизительно 12 годам. Синодический период S найдем из уравнения синодического движения
где T -- сидерический период обращения Земли. Синодический период Юпитера в годах равен, таким образом, 
года, а промежуток времени от соединения до противостояния -- половина синодического периода, т.е. около шести с половиной месяцев.
7.16 Грубая оценка получается мгновенно. Абсолютная звездная величина Солнца примерно +5m, так что с расстояния в 10 парсеков Солнце будет видно как звезда пятой величины. Предельное расстояние, с которого Солнце еще можно увидеть глазом, должно быть немного больше этого. По формуле из задачи легко найдем (по-прежнему считая абсолютную звездную величину Солнца равной +5m), что еще на одну звездную величину слабее Солнце станет, если удалиться от него еще на 
пк. Итак, искомое расстояние близко к 15 пк.
Вот более аккуратный расчет. Абсолютная звездная величина Солнца (в полосе V) равна 
. Невооруженным глазом видны звезды до 6-й звездной величины. Из известной формулы, связывающей M, m и r, находим
откуда r = 17 пк.
7.17 Как известно, 
Cen -- звезда, по своим физическим характеристикам очень похожая на Солнце. Поэтому можно с уверенностью утверждать, что для наблюдателя, живущего в окрестностях Cen, Солнце определенно будет в числе самых ярких звезд -- ведь Cen входит в число таких звезд для земного наблюдателя. При этом следует также учесть, что Cen -- ближайшая к Солнцу звезда, а все остальные яркие звезды находятся в несколько раз дальше и от Солнца, и от Cen.
|
|
|
7.18 Абсолютная визуальная звездная величина Солнца -- около +5m. Отсюда
Таким образом, при наблюдении из туманности Андромеды (если не помешает межзвездная пыль) Солнце имело бы звездную величину, примерно равную 
. Оно было бы недоступно крупнейшим наземным телескопам ( 
), но теоретически находилось бы на пределе обнаружимости для хаббловского космического телескопа. Практически же увидеть Солнце было бы невозможно, так как его излучение сливалось бы со светом от тысяч соседних с ним звезд.
7.19 Абсолютная болометрическая звездная величина -- это мера мощности. Пусть M -- искомая абсолютная болометрическая звездная величина пылесоса, а L -- его мощность, которую мы примем равной 800 Вт. Те же величины для Солнца равны 
и 
Вт. Тогда
Слабый источник -- пылесос...
Излучение
8.1 Функция Планка в шкале длин волн имеет вид
а приближение Вина дается формулой
Поэтому
Значит, относительная погрешность приближения Вина 
= 
. С другой стороны, исследуя функцию Вина на максимум, легко найти, что
Этот очень полезный результат есть закон смещения Вина. Обычно ограничиваются тем, что отмечают постоянство произведения 
. Однако очень важно и численное значение 
, точнее, то, что это число заметно превосходит 1. Действительно, мы имеем 
, так что мало при 
. Интенсивность в максимуме, которую мы (теперь обоснованно) вычисляем в приближении Вина, есть
|
|
|
Если не пользоваться приближением Вина, а работать с точной планковской функцией, то оказывается, что 
равно не точно 5, а 4.965 (проверьте!). Все остальное, включая заключение, что 
, остается в силе.
Длинноволновое приближение Рэлея-Джинса, противоположное приближению Вина, обеспечивает относительную погрешность 
лишь при 
(проверьте). Скажем, точность в 10% приближение Рэлея-Джинса дает лишь при 
, превосходящих 
в 25 раз!
В итоге оказывается, что вся планковская кривая 
, как ее видит глаз на обычном графике, неотличима от виновской кривой. Большинство же студентов (да, пожалуй, и экс-студентов тоже) ошибочно полагает, что приближение Вина для применимо только слева от максимума, приближение Рэлея-Джинса начинает работать слегка правее него, а сам максимум хорошо описывается лишь точной формулой Планка. На самом деле, как мы убедились, все совсем не так.
|
|
|
8.2 Планковские кривые, соответствующие разным T, не пересекаются, поскольку 
. Отсюда следует, что при любом (фиксированном) значения монотонно возрастают с T. Далее, высота максимума планковской кривой, т.е. максимальное значение интенсивности, пропорциональна 
для и 
для 
. Это легко показать, исследуя на максимум соответствующие функции Планка (см. задачу ). Площадь же под обеими кривыми, и и , растет 
(закон Стефана-Больцмана). Поэтому с ростом температуры кривая Планка в шкале длин волн "заостряется", а в шкале частот -- "притупляется".
8.3 Пусть f(x) дифференцируема в точке 
. Для простоты считаем, что 
и 
. Для получения степенной аппроксимации f(x) в окрестности , т.е. представления f(x) вида
поступим следующим образом. Будем рассматривать 
как функцию 
. Тогда имеем обычную линеаризацию в окрестности :
Отсюда, потенцируя, получаем вышеприведенную степенную аппроксимацию f(x), причем обнаруживается, что
Подобные степенные аппроксимации используются в физике (и, в частности, в астрофизике) буквально на каждом шагу. К сожалению, ни в одном известном авторам курсе математического анализа об этом нет ни слова -- хотя учить этому следовало бы всех, даже изучающих анализ не слишком глубоко. Видимо, считается, что студент сам все это сообразит, когда немного "подрастет". Мы решили нарушить традицию и не ждать, когда это случится.
Приведенная в условии задачи степенная аппроксимация зависимости чернотельной интенсивности от T в окрестности 
получается только что описанным стандартным способом. Выкладку предоставляем читателю.
Степенная аппроксимация функции Планка, которую почему-то не отыщешь ни в одном учебнике, позволяет понять многие качественные особенности солнечного и звездных спектров. См., в частности, задачу .
8.4 А почему, собственно, она должна равняться (3/2)kT? Ведь фотон -- не классическая частица, движущаяся с нерелятивистской скоростью. А только к таким частицам и применима классическая формула (3/2)kT.
Чтобы найти среднюю энергию одного чернотельного фотона 
, надо объемную плотность энергии поля излучения
поделить на число фотонов в единице объема
Сделав в обоих интегралах одну и ту же замену 
, обнаруживаем, что
где
Для оценки A можно воспользоваться приближением Вина, т.е. пренебречь 1 по сравнению с 
в двух последних интегралах (ср. с обсуждением в задаче ). Тогда немедленно получим, что 
, поскольку (советуем это запомнить)
Последнее легко доказывается интегрированием по частям. Итак, 
; вычислив интегралы точно, мы нашли бы, что A=2.70, так что окончательно
Таким образом, средняя энергия одного чернотельного фотона без малого вдвое больше средней энергии теплового движения нерелятивистской частицы. Однако вклад каждого фотона в давление почти в точности такой же, как и каждой частицы: давление излучения 
, газовое же давление P = n k T, где 
и n -- концентрации фотонов и частиц, соответственно. (Как вы думаете, почему так получается? Впрочем, это уже скорее физика, чем астрономия. Но ведь решаемся же мы нет-нет да и приучить вас к "физической математике", так почему же не поучить чуть-чуть и "астрономической физике"?) Из только что сказанного следует, что отношение концентраций фотонов и частиц есть одновременно (с точностью 
) и отношение давления излучения к газовому (см. задачу ).
8.5 Выражение для уже появлялось в решении предыдущей задачи:
Подстановка приводит его к виду
где
Таким образом, 
. Чтобы найти точное значение коэффициента пропорциональности, надо получить C. Как мы знаем (см. решение предыдущей задачи), приближенно можно считать, что C=2. Точное же значение C получается так:
где 
-- дзета-функция Римана:
Число 
не выражается через какие-либо "стандартные" постоянные ( 
, e, постоянную Эйлера и т.п.). Оно равно 
.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 174; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!