Графический метод отделения корней

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

По этому методу производят построение и последующий визуальный анализ графиков y = P(x) и y = Q(x) или графика

в области существования корней. Абсциссы точек пересечения и точек касания графиков функций P(x) и Q(x) являются действительными корнями уравнения

(рис.1, а), а абсциссы точек пересечения и касания графика

с осью ОX - действительными корнями уравнения

(рис.1,б).

Точки пересечения графиков y = P(x) и y = Q(x) или графика с осью ОX определяют простые (однократные) корни уравнения (см. ξ₁ на рис. 1), точки касания графиков - корни с четной кратностью (например, двукратные ξ₂= ξ₃), а точки одновременного пересечения и касания графиков - корни нечетной кратности (см. ξ₄= ξ₅ = ξ₆ на рис.1).

Учет кратности корня имеет большое значение не только для определения общего числа корней уравнения, но и для последующего процесса уточнения корня. В частности, некоторые методы уточнения эффективны только для простых корней, а при уточнении корней четной кратности приходится решать вспомогательное уравнение , где - производная функции .

После построения графиков функций P(x) и Q(x) или и визуального их анализа указываются числа a и b - границы отрезков, содержащих единственный (простой или кратный) корень.

Аналитический метод отделения корней

Применяется для отделения корней нечетной кратности уравнения вида . Основу метода составляет анализ условия существования и единственности корня на отрезке [α, β] выраженного в следующей теореме.

Границы действительных корней алгебраических уравнений. Если функция непрерывна на отрезке [α, β] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри отрезка существует, по крайней мере, один корень уравнения , т.е. найдется хотя бы одно число такое, что (рис. 2). Корень ξ заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α, β).

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в граничных точках x = a и x = b области существования корней уравнения .

Затем определяются знаки функции в промежуточных точках x = α₁, α₂, …, выбор которых учитывает особенности функции . Если окажется, что , то в силу теоремы существования корней, в интервале (α_k, α_k₊₁) имеется корень уравнения . Далее необходимо, исследуя поведение внутри интервала (α_k, α_k₊₁), убедиться, является ли этот корень единственным.

Наиболее просто отделение корней производится с помощью ЭВМ. Алгоритм отделения корня уравнения сочетает в себе элементы графического и аналитического методов решения данной задачи. Рассмотрим пример алгоритма отделения наименьшего корня.

Пусть из физических представлений известен интервал [a, b] в котором находится искомый корень. В общем случае в этом интервале может быть несколько корней. Необходимо отделить наименьший корень уравнения.

Алгоритм отделения наименьшего корня предполагает выполнение следующих этапов (рис. 3):

1. Задается шаг Δx отделения корня (блок 2).

2. Переменной x задается значение нижней границы отрезка [a, b], и вычисляется значение y₁ функции в этой точке (блок 4).

3. Вычисляется значение переменной x в следующей точке, отстоящей от предыдущей точки на шаг Δx отделения корня. Определяется значение y₂ функции в этой точке (блок 5).

4. Проверяется условие существования корня в текущем интервале длиной, равной шагу Δx отделения корня (блок 6).

5. Если знак функции не изменился ( ), т. е. корень уравнения не обнаружен, то величине y₁ присваивается значение y₂ (блок 7). Это исключает повторное вычисление функции в одной и той же точке x, являющейся одновременно правой границей проверяемого текущего интервала и левой границей следующего текущего интервала (рис. 4). Далее осуществляется переход к повторению вычислений, начиная с п.3 (блока 5).

6. Если знак функции изменился (условие соблюдается[2]), что указывает на наличие в данном текущем интервале корня, то производится вычисление границ этого текущего интервала [α, β] и ввод их значений (блоки 8, 9).

Рис. 4

7. Если на исследуемом интервале [a, b] требуется отделить все корни уравнения то процесс вычисления функций продолжают в следующих точках исходного интервала до его полного прохождения с шагом Δx. Условием окончания процесса отделения корней в данном случае будет выполнение условия x > b.

Контрольные вопросы и упражнения для приобретения

Умений и навыков по теме 2

1. В каком виде могут быть записаны уравнения с одним неизвестным? На какие классы разделяются нелинейные уравнения с одним неизвестным?

2. Что значит термин «решить уравнение»? Что называют решением уравнения, а что - корнем уравнения?

3. Сколько корней имеет алгебраическое уравнение вида ? Какими они могут быть?

4. Привести к виду уравнения

5. Что означает утверждение "корень вычислен с заданной степенью точности»?

6. Как определяется область существования корней алгебраического уравнения? Определите области существования положительных и отрицательных корней алгебраического уравнения .

7. Какова методика определения области корней трансцендентного уравнения? Определите область существования корней уравнения

8. Какие подзадачи содержит в себе общая задача нахождения приближенного значения корня уравнения? Что значит «отделить корни уравнения»? Какие методы применяют для отделения корней уравнения?

9. Используя два способа, т. е. записывая нижеприведенное уравнение в виде в первом способе и как - во втором, графическим методом выполните отделение корней уравнения . Длину отрезка расположения каждого корня задать равной 0,5.

10. Какая теорема лежит в основе аналитического метода отделения корней уравнения? При каком условии отделенный на интервале (α, β) корень ξ является единственным?

11. Напишите в вербальной (словесной) форме последовательность отделения наибольшего корня уравнения , расположенного на интервале [0,25; 3,45].

[1] Дробно-рациональная функция содержит выражение, где переменная x является делителем или входит в состав делителя.

[2] Выполнение условия указывает, что искомый корень находится на границе текущего интервала.

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 748; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78

Мы поможем в написании ваших работ!