Алгебраические и трансцендентные уравнения. Понятия алгебраической функции, алгебраической рациональной, дробно-рациональной и иррациональной. Трансцендентные функции.
В практике инженерных расчетов необходимость решения алгебраических и трансцендентных уравнений возникает при проектировании режущего инструмента, механизированных приводов станочных приспособлений, при исследовании процессов контактного взаимодействия инструмента с обрабатываемой деталью, линейных систем автоматического регулирования и т. д.
Любое уравнение с одним неизвестным представляет собой запись
, (1)
где P(x) и Q(x) - заданные функции, определенные на некотором числовом множестве X, являющимся областью допустимых значений уравнения (1).
Уравнение с одним неизвестным можно записать также в виде
. (2)
Действительно, перенеся в уравнении (1) Q(x) в левую часть, получим уравнение 
, равносильное исходному. Обозначив через f(x) разность P(x) - Q(x) приходим к уравнению вида (2).
Совокупность значений x1, x2,…, xn переменной x, при которых уравнение (1) превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение xi из этой совокупности называется корнем уравнения. Корни уравнения могут быть вещественными и комплексными. Решить уравнение - значит найти множество всех корней этого уравнения. Это множество может быть бесконечным или конечным, в частности пустым.
Например, уравнение 
имеет решение, состоящее из двух корней: x1 = 14 и x2 = -2. Уравнение 
имеет решение x = πn (n = 0, ±1, ±2, …). Придавая n различные значения, получаем бесконечное множество корней. Уравнение 
не имеет корней.
|
|
|
В зависимости от того, какие функции входят в уравнения (1) или (2), уравнения разделяются на два больших класса: алгебраические уравнения и трансцендентные.
Функция называется алгебраической, если для получения значения функции по заданному значению x нужно выполнить только арифметические операции (сложение и др.) и возведение в степень с рациональным показателем. Операция извлечения корня n -й степени при этом рассматривается как операция возведения в степень с показателем 1/ n . Алгебраические функции могут быть рациональными или иррациональными. В отличие от рациональной иррациональная функция содержит выражение, в котором аргумент x находится под знаком радикала. Так, функция 
является иррациональной, а функция 
, рациональной, так как x не находится под знаком радикала.
Если в состав уравнения входят только алгебраические функции, то уравнение называется алгебраическим. Например, уравнения
, 
являются алгебраическими.
Алгебраическое уравнение может быть приведено к виду
, (3)
|
|
|
в котором числа a0, a1, a2, …, an, называются коэффициентами уравнения. Они могут быть как действительными, так и комплексными. Обычно под понятием "алгебраическое уравнение" имеют в виду уравнение, записанное в виде (3).
Заметим, если уравнение (3) получено преобразованием уравнения, в которое входила дробно-рациональная функция[1] или иррациональная, то необходимо учитывать, что эти функции определены не на всей числовой оси. Так, после освобождения от иррациональности в уравнении
приходим к уравнению
,
которое определено на всей числовой оси x. Однако исходное уравнение имеет область допустимых значений, принадлежащих отрезку [2, 6].
Трансцендентным является уравнение, в состав которого входит одна или несколько неалгебраических функций. К таким функциям относятся: показательная ax , логарифмическая log a x тригонометрические sin x, cos x, tg x, ctg x, обратные тригонометрические и др. Например, трансцендентными являются уравнения
, 
.
Во многих практических задачах решение трансцендентных и алгебраических уравнений связано с нахождением только действительных корней. Поэтому в дальнейшем рассматриваются только вопросы определения действительных корней уравнений.
|
|
|
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 858; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!