Класс Районная олимпиада 2014

1. В треугольнике высоты, опущенные на стороны и , не меньше соответствующих сторон. Найдите углы этого треугольника.

2. Найдите все пары целых чисел, для которых

3. При стрельбе по мишени спортсмен выбивал только по 8, 9 и 10 очков. Всего он сделал более 11 выстрелов и выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен и какие были попадания?

4. Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей. Он разменял 25-рублёвую купюру покупателя у соседа. Покупатель с покупкой ушёл. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец?

5. Лента, бесконечная вправо, разбита на клетки. На первой клетке сидит кузнечик. Из любой клетки кузнечик может перепрыгнуть либо на одну, либо на 2 клетки вправо. Сколькими способами кузнечик может добраться до десятой от начала клетки?

Класс Районная олимпиада 2014

1. Докажите, что уравнение неразрешимо в натуральных числах.

2. Функция называется нечётной, если для любого . Докажите, что функция нечётная.

3. При каких значениях система не имеет решений?

4. Сколькими способами можно разложить 5 монет различного достоинства по трём карманам?

5. Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу Найдите угол

Класс Районная олимпиада 2014

1. Решите в натуральных числах уравнение

2. Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

3. Окружность с центром О радиуса вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

4. Сто учеников сидят за круглым столом, причём более половины из них мальчики. Докажите, что какие-то два мальчика сидят друг напротив друга.

5. При каких значениях параметра система уравнений

имеет единственное решение?

Класс Районная олимпиада 2014

1. Докажите, что если число делится на , то простое

число. Здесь произведение всех целых чисел от 1 до .

2. Числа и образуют решение системы

Докажите, что хотя бы одно из них равно .

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а диагональ боковой грани . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания.

4. Окружность вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу Найдите угол

5. При каких натуральных и имеет корни уравнение

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГОРОДСКОЙ ОЛИМПИАДЫ 2014

8.1. Докажите, что при натуральном число не может быть равно нулю.

♦ Если бы такое нашлось, то оно должно быть делителем числа 31, т. е. или . Но они числа 31 не дают.

8.2. При каких значениях уравнение имеет два различных корня?

♦ Если то корень . Если то корни совпадают . В остальных случаях два неравных корня

8.3. За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из громов переливает своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа. И, наконец, четвёртый гном оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если в конце концов у всех гномов молока оказалось поровну?

♦

8.4. На окружности заданы точки Отрезок диаметр окружности. Из точек и на прямую опущены перпендикуляры и соответственно. Докажите, что

♦ Пусть М – основание перпендикуляра, опущенного из центра окружности О на хорду Тогда

8.5. Крестьянин купил стадо, состоящее из свиней, коз и овец – всего 100 голов. Он заплатил за стадо 100 крон. За каждую свинью по 3,5 кроны. За каждую козу по кроны. За каждую овцу по 0,5 кроны. Сколько свиней, коз и овец купил крестьянин?

♦ Ответ: Три варианта покупки свиней, коз и овец (5; 42; 53), (10; 24; 66) и (15; 6; 79). Если крестьянин купил свиней, коз и овец, то задача свелась к решению системы

Из второго вычтем первое, умноженное на 3:

9.1. Для некоторых целых и число делится на 23. Докажите, что число также делится на 23.

♦ Решение 1. По условию . Дополнив 17 до 23, получим

делится на 23.

Решение 2. Если обратим внимание на 3х = , то получим

Из того, что делится на 23, следует, что также делится на 23.

9.2. Функция называется нечётной, если для любого . Докажите, что функция нечётная.

♦ Решение 1.

Решение 2.

9.3. В конференции принимает участие 77 человек. Может ли каждый из них быть знаком ровно с семью другими?

♦ Предположим, что может. Тогда в числе каждый участник учтён дважды. Оно должно быть чётным. Противоречие. Значит, наше предположение неверно.

9.4. Решите систему

♦ Ответ: (3; 1), (1; 3), (–3;–1), (–1;–3).

Решение 1. Заметим, что если пара образует решение системы, то и , и – тоже решения. Поэтому можно искать решения, для которых и из них получать остальные.

Решение 2. Возведя в квадрат обе части уравнения

получим

9.5. Окружность с центром О радиуса вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

♦ Пусть точка касания окружности гипотенузой. Тогда Ответ.

10.1. Докажите, что при числа и не могут быть простыми одновременно.

♦ Решение 1. Среди трёх последовательных целых чисел одно делится на 3, но это не , поэтому или . Значит одно из них точно составное.

Решение 2. Произведение делится на 3, поэтому одно из них составное – делится на 3.

Решение 3. Если составное, то число составное: . Если простое, то нечётное и составное: , делится на 3. Поэтому при числа и не могут быть простыми одновременно.

Решение 4. Предположим противное: нашлось . Из того, что простое, следует, что тоже простое. Из того, что простое, следует, что . Простое число представимо в виде степени двойки только если эта степень первая, . Противоречие с тем, что .

Полезные формулы

Если нечётное, то

Решение 5. При эти числа не равны 2 и 3. Простое число, отличное от 2 и 3 можно представить в виде Если то делится на 3. Если то на 3. Противоречие...

Решение 6. Методом полной математической индукции можно доказать, что при одно из чисел или делится на 3. Если , то делится на 3. Если , то делится на 3.

10.2. Решите уравнение

♦ Ответ:

Решение 1. После возведения в квадрат получим

Заметив, что удовлетворяет этому уравнению, получим

Осталось решить биквадратное уравнение. Проверка обязательна.

Решение 2. Замена приводит уравнение к виду

10.3. Дана система уравнений

Два человека выписывают по очереди вместо звёздочек числа. Докажите, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

♦ Начинающий всегда может добиться того, чтобы получить решение (1; 1; 1)

Для этого, он своими ходами каждое уравнение приводит к одному из видов

или

или .

Очень эффектна стратегия, когда он получает решение (0;1;–1).

Для этого он систему приводит к виду

Первым ходом ставит 0 в левом верхнем углу, а затем во втором и третьем столбцах ставит то же число, что и его партнёр!

Он может получить решение (0; 1; 1), если систему приведёт к виду

10.4. Каждая сторона треугольника разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ?

♦ Ответ: 216. Всего треугольников с вершинами в этих точках Треугольников, у которых одна сторона параллельна одной из трёх сторон исходного треугольника Треугольников, у которых две стороны параллельны двум сторонам исходного 7. У одного треугольника все три стороны параллельны сторонам исходного. Отсюда, ответ

10.5. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень

♦ Запишем равнение в виде Функция

непрерывна. После раскрытия модулей

При она возрастает, так как при любом раскрытии модулей

имеем

При функция убывает, так как при любом раскрытии модулей

имеем .

Следовательно, наименьшее значение функция принимает при х = 1, а уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда Решим это неравенство

Ответ:

11.1. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного .

♦ По условию где количество цифр в числе . Тогда Так как числа и взаимно простые, то и тоже взаимно простые. Поэтому , А это возможно в двух случаях. В первом случае тогда . Противоречие. Во втором случае Тогда равенство примет вид . В этом уравнении слева функция возрастающая, а справа убывающая. Такое уравнение имеет не более одного корня. Единственный корень . Ответ:

11.2. Числа и образуют решение системы

Докажите, что хотя бы одно из них равно .

♦ Требуется доказать, что то или или Рассмотрим произведение Из второго уравнения системы следует, что Поэтому

Так как то или или

11.3. В треугольнике угол равен На стороне взята точка , для которой и Найдите радиус окружности, проходящей через точки и касающейся прямой

♦ Ответ: 1 или 7. Два ответа возникают в связи с тем, что точка касания может находиться на прямой по одну сторону с точкой относительно или по разные.

Пусть точка касания окружности с прямой лежит на луче . По теореме о касательной и секущей

Пусть точка пересечения луча и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника находим

Следовательно, центр искомой окружности, а её радиус равен 1.

Пусть теперь точка касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку , а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую в точке а окружность вторично – в точке Тогда

Если радиус окружности, то По теореме о двух секущих

11.4. В последовательности каждое следующее число получается из предыдущего по формуле

Найдите

♦ Ответ: Значения повторяются через четыре номера

;

11.5. При каких натуральных и имеет корни уравнение

♦ Ответ: уравнение имеет корни, если любое натуральное число, или, если , или, если

Решение 1. Пусть Уравнение имеет корни при любом натуральном При имеем уравнение , которое, очевидно, при не имеет корней. Столь же очевидно, что уравнения и корни имеют. При имеем уравнение , которое, очевидно, при не имеет корней. При имеем уравнение, которое также при не имеет корней.

Решение 2. К уравнению

;

применим метод введения дополнительного угла; введём угол, для которого

Тогда уравнение принимает вид

Уравнение имеет корни, если

Если , то это неравенство выполняется при любом натуральном . Если то перепишем неравенство в виде или . При возможны или При возможно только . Если , то и возможно только одно значение .

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАЙОННЫХ ОЛИМПИАД 2014\

8.1. В треугольнике высоты, опущенные на стороны и , не меньше соответствующих сторон. Найдите углы этого треугольника.

♦ Пусть ; Наклонная больше перпендикуляра, поэтому По условию Поэтому Аналогично,

Получили треугольник прямоугольный и равнобедренный. Ответ:

8.2. Найдите все пары целых чисел, для которых

♦ Так как то возникают системы

Решим их. Ответ: (–5; –4), (–3; 0), (–5; 4), (5; 4), (5;–4), (3; 0).

8.3. При стрельбе по мишени спортсмен выбивал только по 8, 9 и 10 очков. Всего он сделал более 11 выстрелов и выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен и какие были попадания?

♦ Ответ: 12 выстрелов при попаданиях 9 раз в 8, два раза в 9 и один раз в 10.

Пусть спортсмен выбил раз восьмёрку, раз девятку и раз десятку.

Тогда .

8.4. Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей. Он разменял 25-рублёвую купюру покупателя у соседа. Покупатель с покупкой ушёл. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец?

♦ Ответ: 15 + 25 = 40.

8.5. Лента, бесконечная вправо, разбита на клетки. На первой клетке сидит кузнечик. Из любой клетки кузнечик может перепрыгнуть либо на одну, либо на 2 клетки вправо. Сколькими способами кузнечик может добраться до десятой от начала клетки?

♦ Добраться до первой клетки можно одним способом – сидеть на месте. Существует только один способ добраться до второй клетки. До третьей клетки – 2 способа. До четвёртой – 3. До пятой – 5. В каждую следующую клетку кузнечик может попасть из попасть из предыдущей или либо перепрыгнув через неё поэтому число способов попасть в неё складывается из двух предыдущих чисел . Возникает последовательность 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; … Ответ: 55.

9.1. Докажите, что уравнение не разрешимо в натуральных числах.

♦ Предположим, что нашлась тройка натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению. Тогда все три равны друг другу не могут и без ограничения общности можно считать, что . Тогда или и сумма . Противоречие.

9.2. Функция называется нечётной, если для любого . Докажите, что функция нечётная.

♦

9.3. При каких значениях система не имеет решений?

♦ Ответ: При система несовместна Решим исходную систему при Вычтем из первого уравнения второе

Решение системы существует при .

9.4. Сколькими способами можно разложить 5 монет различного достоинства по трём карманам?

♦ Ответ: . Каждую монету можно положить в любой карман тремя способами: в первый карман, во второй карман или в третий карман. Одну монету можно разложить тремя способами, две – девятью; три – четыре – ; пять – способами.

9.5. Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу Найдите угол

♦ Пусть точка касания окружности гипотенузой и радиус окружности. Тогда прямоугольный равнобедренный, и , аналогично, . Ответ.

10.1. Решите в натуральных числах уравнение

♦ Ответ:

11.2. Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

♦ Анализ. Даны три параллельные прямые и (перечисляем снизу вверх). Предположим, что вершина искомого квадрата лежит на , на , на . Вокруг вершины повернём точку на по часовой стрелке. Тогда точка перейдёт в точку .

Построение. Выберем произвольно точку на прямой . Повернём прямую по часовой стрелке на вокруг точки . Полученная прямая пересечется с прямой в точке . Повернув точку в обратном направлении, на прямой получим точку . Равнобедренный прямоугольный треугольник достроим до квадрата . Квадрат искомый.

10.3. Окружность с центром О радиуса вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

♦ радиус окружности, вписанной в треугольник точка касания окружности гипотенузой . Треугольник прямоугольный равнобедренный, , ; аналогично, Оказалось, что О – центр окружности, описанной около треугольника MCN. Ответ.

10.4. Сто учеников сидят за круглым столом, причём более половины из них мальчики. Докажите, что какие-то два мальчика сидят друг напротив друга.

♦ Предположим противное, тогда в каждой из пятидесяти пар есть девочка. Мальчиков должно быть Противоречие с условием.

10.5. При каких значениях параметра система уравнений

имеет единственное решение?

♦ Ответ: Если решение системы, то тоже решение системы. Поэтому, если решение единственное, то т. е. получаем систему

которая распадается на две системы

При исходная система, кроме , имеет ещё решения: . Докажем, что при кроме (0; 1), нет других решений системы

Из условия следует, что Первое из этих неравенств даёт Вместе с тем с тем, что это даёт нам Получили то же самое решение, т. е. оно единственное.

11.1 Докажите, что если число делится на , то простое

число.

♦ Предположим противное, что представимо в виде произведения двух натуральных чисел, Тогда , и присутствует среди множителей т. е. при некотором натуральном имеем

Единица делится на натуральное число, отличное от 1. Противоречие.

11.2. Числа и образуют решение системы

Докажите, что хотя бы одно из них равно .

♦ Из второго уравнения системы следует, что Поэтому

Так как то или или

11.3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а диагональ боковой грани . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания.

♦ Если середина то и перпендикулярны следовательно, линейный угол другранного угла с гранями и . Так как из треугольника и из треугольника , то . Ответ:

11.4. Окружность вписана в прямоугольный треугольник , – еёпроекция на гипотенузу Найдите угол

♦ Введём обозначения: центр окружности, радиус, точка окружности, которая проектируется на , точка пересечения прямой со стороной точка касания окружности прямой Тогда Как отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, А так как . Треугольник равнобедренный с внешним углом при вершине Р. Поэтому . Аналогично, , поэтому Ответ.

Решение 2.Так как , то центр окружности, описанной около треугольника В ней центральный угол , поэтому вписанный угол

11.5 При каких натуральных и имеет корни уравнение

♦ Ответ: уравнение имеет корни, если любое натуральное число, или, если , или, если

К уравнению применим метод дополнительного угла; введём угол, для которого

Тогда уравнение принимает вид

Уравнение имеет корни, если

Если , то это неравенство выполняется для любого натурального . Если то перепишем неравенство в виде или . Если , то и возможно только одно значение . При возможны или При возможно только .