МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ – 2015

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

1. Юрий Александрович Клевчихин, как и многие математики ДВФУ, любит плавание. Как-то он плыл против течения реки Уссури и, проплывая под мостом, потерял флягу. Через 10 минут он заметил пропажу, повернул обратно и догнал флягу у второго моста. Найдите скорость течения реки, если известно, что расстояние между мостами 1 км.

2. На сторонах квадрата внутренним образов построили прямоугольные равнобедренные треугольники, для которых соответственно сторона квадрата является гипотенузой. Вершины четырёх прямых углов слились в одну точку. Какая фигура получится, если вершины четырёх прямых углов соединить последовательно для а) прямоугольника; б) ромба; в) параллелограмма?

3. Каждое из чисел 3, 4, 5, 6, 7 и 8 умножили на каждое из чисел 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом поставили знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата сложили. Какое наименьшее положительное число можно так получить?

4. Последовательность называется геометрической прогрессией, если в ней каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число, т. е. число называется знаменателем геометрической прогрессии. Если длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию, то в каких границах может меняться знаменатель этой прогрессии? Найдите связь этой задачи с золотым сечением.

5. Докажите, что не принимает отрицательных значений

6. Решите систему

7. Докажите, что уравнение при любых имеет корни.

8. Для каждого значения параметра выясните имеет ли система решение при этом значении или нет, и если имеет, то сколько, и укажите все решения

9. Математики известны как лучшие специалисты по информационной безопасности. Проявив упорство и наблюдательность, даже не зная криптографии, расшифровав текст, Вы узнаете, мысли о профессии математика выдающегося русского учёного

НЯЬЕК Е––МО ЛБМАМ ЬЫАТ– ЗТТИН ЕУ–ЕМ –ЧТ–Я БИОВ– У––РИ ДВЖЕ– ПМУОВ О–ШВС ЭВЕАК Т–.ЛА ОДКЕЯ

10. Перечислите все вращения куба вокруг центра, совмещающих куб с самим собой.

Приморская краевая заочная олимпиада по математике 2015

РЕШЕНИЯ

♦ Без течения фляга оставалась бы на месте, и от неё и к ней пловец плыл бы по 10 минут. За 20 минут фляга проплыла 1 км. Ответ. 3 км/ час.

♦ Во всех случаях получится квадрат. а). Если P, Q, R и T – вершины прямых углов треугольников, построенных на сторонах AB, BC, CD и AD прямоугольника ABCD, то, очевидно, что PQRT – прямоугольник. Пусть a и b – стороны прямоугольника ABCD, Каждая сторона прямоугольника равна , т. е. это квадрат.

в). Применим метод координат. Введём систему координат следующим образом. Ось абсцисс проходит параллельно большему основанию по средней линии. Ось ординат проходит перпендикулярно большему основанию. Если 2а – длина большего основания, 2b – высота трапеции, c – величина смещения, то координаты вершин трапеции A B C D , а точек P , Q , R и T .

Получили ромб, диагонали которого равны. Это – квадрат.

♦ Ответ. 1. Сумма принимает значение 1, например, при расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии скобок

♦ Пусть стороны треугольника. Применим в ним неравенство треугольника: сумма двух сторон треугольника больше третьей:

Из первого неравенства получим

Из второго

Из третьего но сумма двух положительных взаимно обратных, отличных от 1, чисел больше двух.

Заметим, что ,

Ответ. .

5. Докажите, что не принимает отрицательных значений

♦ Все слагаемые, содержащие z , соберём в одну скобку и дополним до полного квадрата

Другое решение

6. Решите систему

♦ Если в решении системы одна из переменных принимает значение 0, то и остальные переменные тоже принимают значение 0. Нулевое решение системы (0; 0; 0; 0). Если есть ненулевое решение, то в нём все значения отличны от нуля. Складываем все уравнения

Система преобразована к виду

Перемножим все уравнения

Отсюда,

Ответ.

7. Докажите, что уравнение при любых имеет корни.

♦ Квадратный трёхчлен запишем в стандартном виде и найдём дискриминант

♦ ОДЗ:

Выражение рассматриваем как квадратное относительно . Решим квадратное уравнение

В первом случае

и для любого x из ОДЗ пара – решение системы. Надо учесть ОДЗ: т. е. система имеет решение, если .

Во втором случае

для любого x из ОДЗ – решение системы. Учтём ОДЗ: т. е. в этом случае система имеет решение, если

Надо рассмотреть и третий случай В этом случае для любого пара – решение системы.

Таким образом, система имеет решение если

система имеет решение , если

система имеет решение при любом значении a.

Но решения могут совпадать.

Решения из первой и второй серий совпадают, если

; – значение не входит в области существования этих решений.

Решения из первой и третьей серий совпадают, если

; . Общее решение . Решения второй серии при нет.

Решения из второй и третьей серий совпадают, если

; Общее решение . С ним не совпадает решение (–3; ) из первой серии при .

Ответ.

Если то система имеет 1 решение ;

если то система имеет 2 решения и ;

если то система имеет 3 решения , и ;

если то система имеет 2 решения , и ;;

если то система имеет 1 решение .

НЯЬЕК Е––МО ЛБМАМ ЬЫАТ– ЗТТИН ЕУ–ЕМ –ЧТ–Я БИОВ– У––РИ ДВЖЕ– ПМУОВ О–ШВС ЭВЕАК Т–.ЛА ОДКЕЯ

♦ НЕЛЬЗЯ БЫТЬ МАТЕМАТИКОМ, НЕ БУДУЧИ В ТО ЖЕ ВРЕМЯ И ПОЭТОМ В ДУШЕ КОВАЛЕВСКАЯ

Слова принадлежат выдающемуся русскому учёному, первой женщине, ставшей великим математиком Софье Васильевне Ковалевской.

Текст в таблицы вписывался по столбцам, а передан в записи по строкам.

Н	Я	Ь	Е	К	Е	У	–	Е	М
Е	–	–	М	О	–	Ч	Т	–	Я
Л	Б	М	А	М	Б	И	О	В	–
Ь	Ы	А	Т	–	У	–	–	Р	И
З	Т	Т	И	Н	Д	В	Ж	Е	–

П	М	У	О	В
О	–	Ш	В	С
Э	В	Е	А	К
Т	–	–	Л	А
О	Д	К	Е	Я

10. Перечислите все вращения куба вокруг центра, совмещающих куб с самим собой.

♦ Ответ. Таких вращений 24. Перенумеруем вершины куба. Вращения удобно записывать в виде подстановки, в верхней строчке которой записаны эти номера, а в нижней – номера вершин, в которые они переходят для взятого вращения.

Перечисление начнём с вращения на ноль градусов:

Вращения вокруг оси, соединяющей центры граней (1234) и (5678):

2) поворот на

3) поворот на 4) поворот на

вращения вокруг оси, соединяющей центры граней (1562) и (8734):

5) 6)

8), 9), 10) – вращения вокруг оси, соединяющей центры граней (2673) и (1584);

11) вращение вокруг оси, соединяющей середины рёбер (12) и (87)

12) вращение вокруг оси, соединяющей середины рёбер (14) и (67):

13) вращение вокруг оси, соединяющей середины рёбер (15) и (37):

14) вращение вокруг оси, соединяющей середины рёбер (23) и (58);

15) вращение вокруг оси, соединяющей середины рёбер (26) и (48);

16) вращение вокруг оси, соединяющей середины рёбер (34) и (56).

Плоскости (245) и (386) перпендикулярны диагонали (17). Равносторонние треугольники (245) и (386) самосовмещаются при повороте вокруг оси (17), поэтому отметим следующие преобразования

17) поворот куба на 12 вокруг оси (17):

18) поворот куба на 24 вокруг оси (17):

19) поворот куба на 12 вокруг оси (28):

20) поворот куба на 24 вокруг оси (28):

21) поворот куба на 12 вокруг оси (35):

22) поворот куба на 24 вокруг оси (35):

23) поворот куба на 12 вокруг оси (46):

24) поворот куба на 24 вокруг оси (46).

Смена ВДЦ "Океан" "Российский интеллект-2015"

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 200; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!

Н	Я	Ь	Е	К	Е	У	–	Е	М
Е	–	–	М	О	–	Ч	Т	–	Я
Л	Б	М	А	М	Б	И	О	В	–
Ь	Ы	А	Т	–	У	–	–	Р	И
З	Т	Т	И	Н	Д	В	Ж	Е	–

Н	Я	Ь	Е	К	Е	У	–	Е	М
Е	–	–	М	О	–	Ч	Т	–	Я
Л	Б	М	А	М	Б	И	О	В	–
Ь	Ы	А	Т	–	У	–	–	Р	И
З	Т	Т	И	Н	Д	В	Ж	Е	–

Н	Я	Ь	Е	К	Е	У	–	Е	М
Е	–	–	М	О	–	Ч	Т	–	Я
Л	Б	М	А	М	Б	И	О	В	–
Ь	Ы	А	Т	–	У	–	–	Р	И
З	Т	Т	И	Н	Д	В	Ж	Е	–