Владивосток, 21 ноября 2015 года

Класс

1. Существуют ли натуральные для которых

2. Найдите если

3. Окружности радиусов 13 и 35 с центрами и соответственно касаются внутренним образом в точке ; и – параллельные радиусы этих окружностей, отложенные в одну полуплоскость относительно прямой Докажите, что точки лежат на одной прямой.

4. В квадрате со стороной 5 см размещено 126 точек. Докажите, что среди них существует 6 точек, которые лежат в круге радиуса 1 см.

5. Три смеси составлены из трёх элементов А, В и С. В первую смесь входят только А и В в весовом отношении 3:5. Во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:2. В третью смесь входят только А и С в весовом отношении 2:3 В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 3:5:2?

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ0

Владивосток, 14 ноября 2015 года

Класс

1. Какое наибольшее значение может принимать , если – двузначные натуральные числа и делится на 4?

2. Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение

3. Множество М целых чисел (не всех) содержит вместе с любыми своими числами их разность, Докажите, что оно является множеством всех кратных некоторого целого числа из этого же множества.

4. Про квадратный трёхчлен известно, что при . Найдите наибольшее возможное значение

5. В окружность вписан правильный треугольник АВС, М – точка на дуге, соединяющей А и В. Докажите, что

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГОРОДСКОЙ ОЛИМПИАДЫ 2015

8.1. Докажите, что при нечётных натуральных делится на 4.

♦

8.2. Представьте в виде произведения двух многочленов

♦ =

8.3. Одуванчик утром распускается, два дня цветёт жёлтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днём на поляне было 20 желтых и 14 белых одуванчиков, а сегодня 15 жёлтых и 11 белых. Сколько желтых одуванчиков было на поляне позавчера?

♦ Ответ: 25. Все одуванчики, которые позавчера были желтыми, стали белыми вчера или сегодня: 14 + 11 = 25.

8.4. В круге проведены два радиуса, не лежащие на одной прямой. Постройте хорду, делящуюся ими на три равные части.

♦ Пусть О – центр окружности ОА и ОВ – проведённые радиусы. Перпендикулярно биссектрисе угла АОВ проведём прямую . Отложим во вне угла АОВ на прямой отрезки, равные отрезку, заключённому на этой же прямой между сторонами угла. Получим точки и . Легко доказать, что прямые и параллельны. По теореме Фалеса точки пересечения прямых и с окружностью и есть концы искомой хорды.

8.5. На доске записаны два числа 2014 и 2015. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За один ход можно:

– либо уменьшить одно из этих двух чисел в его ненулевой цифре;

– либо разделить одно из чисел пополам, если оно чётное.

Выигрывает тот, кто первым напишет однозначное число. Кто из них может выиграть, как бы ни играл соперник? Опишите его стратегию и докажите, что она выигрышная.

♦ Ответ: Петя. Стратегия Пети: если можно одно из чисел заменить на однозначное, то сделать это; в противном случае уравнять два числа. Уравнять Петя всегда сможет, повторив ход Васи с тем числом, которое Вася не менял. Для доказательства устроим обратный ход. Допустим, Вася смог заменить число Х на однозначное. По стратегии Пети на доске перед этим было (Х; Х). Когда Петя делал предыдущих ход, то одно из чисел было Х. Поэтому Петя сам сделал бы его однозначным.

9.1. Существуют ли натуральные для которых

♦ Да. Пример

9.2. Найдите сумму корней уравнения

♦ Ответ. +1.Корни –1 и 2.

9.3. Одуванчик утром распускается, два дня цветёт жёлтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днём на поляне было 20 желтых и 14 белых одуванчиков, а сегодня 15 жёлтых и 11 белых. Сколько белых одуванчиков будет на поляне завтра?

♦ Ответ: 9. Из вчерашних жёлтых одуванчиков 11 побелели сегодня, а остальные 20 – 11 = 9 побелеют завтра.

9.4. Решите систему

♦ Ответ: (–2; –2). Второе уравнение перепишем в виде

При исследовании первого уравнения возникают два случая.

Если Решение (–2; –2) идёт в ответ.

Если Пара (– 4, 4) не удовлетворяет условию .

Пара (– 2,2; –1,4) не удовлетворяет условию

9.5. На сторонах ромба внешним образом построили равнобедренные треугольники и с углами при вершинах и . Затем весь чертёж стёрли, оставив только точки и . Восстановите ромб по точкам .

♦ Произвольную точку Р плоскости повернём вокруг точки А против часовой стрелки на угол . Полученную точку точно также повернём вокруг точки В и т. д. Середина отрезка является вершиной А ромба.

10.1. Существуют ли натуральные для которых

♦ Нет. Для натуральных сумма нечётна или делится на 4, а 58 чётно и не делится на 4.

10.2. Найдите если

♦ Ответ. 2. Первое уравнение начинается со слагаемых из формулы куба Это позволяет переписать систему в виде

Складываем уравнения. Тогда

Замена и даёт другую запись этого же решения.

♦ Решение 2. Замена и даёт

♦ Решение 3. Функция возрастающая и нечётная и

10.3. Окружности радиусов 13 и 35 с центрами и соответственно касаются внутренним образом в точке ; и – параллельные радиусы этих окружностей, отложенные в одну полуплоскость относительно прямой Докажите, что точки лежат на одной прямой.

♦ Важно отметить, что точки лежат на одной прямой. В равнобедренном треугольнике угол равен поэтому этот треугольник равносторонний и Так как радиусы параллельны, то Вновь в равнобедренном треугольнике угол равен поэтому этот треугольник равносторонний и В одну полуплоскость от луча можно отложить только один угол, равный данному, поэтому лучи и совпадают.

Другое решение; докажите, что

10.4. В квадрате со стороной 5 см размещено 126 точек. Докажите, что среди них существует 6 точек, которые лежат в круге радиуса 1 см.

♦ Квадрат разобьём на 25 квадратиков . Если в каждом квадратике окажется максимум пять точек, то всего получится 125 точек. А у нас их 126. Значит найдётся квадратик, в который попало не менее шести точек. Так как диагональ квадратика меньше 2, то этот квадратик можно полностью поместить в круг радиуса 1с центром в точке пересечения диагоналей. В этом круге в не менее шести точек.

10.5. Три смеси составлены из трёх элементов А, В и С. В первую смесь входят только А и В в весовом отношении 3:5. Во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:2. В третью смесь входят только А и С в весовом отношении 2:3 В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 3:5:2?

♦ Ответ. 20:6:3.

	A	B	C
x – вес первой смеси
y – вес второй смеси
z – вес третьей смеси
Всего

Из первого уравнения , а из второго с учётом этого .

11.1. Какое наибольшее значение может принимать , если – двузначные натуральные числа и делится на 4?

♦ Ответ: . Так как сумма делится на 4, то – одной чётности. А так как они двузначные натуральные числа, то без ограничения общности можно взять и

Значение достигается, например, при

11.2.Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение

♦ Ответ: –8. При исследовании первого уравнения возникают два случая.

Изменяя a , двигаем прямую параллельно прямой . Возникает единственная точка пересечения при

11.3. Множество М целых чисел (не всех) содержит вместе с любыми своими элементами их разность, Докажите, что М состоит из всех кратных некоторого целого числа из этого же множества.

♦ Заметим, что вместе с любым числом множеству М принадлежит и противоположное, поэтому в множестве М есть положительные числа и есть наименьшее положительное число с. Вычитая из модуля любого числа этого множества число с несколько раз обязательно получим в остатке 0. Если положительный остаток не равен нулю, то он меньше с и принадлежит М, а это противоречит выбору с. Вывод: все числа множества М делятся на с. Все числа, кратные с принадлежат множеству М.

Сверх этого заметим, что

если в М найдутся взаимно простые числа, то и

11.4. Про квадратный трёхчлен известно, что при . Найдите наибольшее возможное значение

♦ Ответ. 8. Так как то – вершина параболы и по условию ,

Так как положительно, то ветви параболы направлены вверх и наименьшее значение функции и оно удовлетворяет условиям задачи при наибольшем значении , равном 8. Всегда

;

а если то

11.5. В окружность вписан правильный треугольник АВС, М – точка на дуге, соединяющей А и В. Докажите, что

♦ Пусть при повороте против часовой стрелки на 60 градусов вокруг точки В точка М перейдёт в точку Р. (Вершины А, В и С перечисляем, двигаясь по часовой стрелке.) Тогда треугольник ВМА перешёл в ВРС;

Точки лежат на одной прямой, точка Р на отрезке МС и МР=МВ, СР=АМ.

ЗАДАНИЯ ПРИМОРСКОЙ КРАЕВОЙ

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 180; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!