Олимпиада «Океан знаний» 11 марта 2015 МАТЕМАТИКА

1. Докажите, что если , то треугольник с углами и равнобедренный.

2. Найдите решение системы

для которого величина принимает наибольшее значение.

3. Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет рациональных корней.

4. На сторонах остроугольного треугольника найдите три точки, являющиеся вершинами треугольника с минимальным периметром.

5. Точка Е – середина ребра куба . Найдите тангенс угла между прямыми и .

РЕШЕНИЯ

1. Докажите, что если , то треугольник с углами и равнобедренный.

♦

Для углов треугольника отсюда можно сделать только один вывод

2. Найдите решение системы

для которого величина принимает наибольшее значение.

♦ Левая часть последнего уравнения напоминает скалярное произведение в координатной форме. Воспользуемся этим. Рассмотрим её как скалярное произведение векторов . Тогда

C другой стороны по определению скалярного произведения

их координаты пропорциональны,

;

Тогда

Функция достигает максимума при . Отсюда

Таким образом, найдено решение, которое удовлетворяет условию задачи:

Докажем, что в любом решении системы числа и одного знака, а также, что числа и тоже одного знака. Оба произведения и не могут быть одновременно отрицательными. Предположим, что одно из них положительно, а другое отрицательно; например, Так как и , то Противоречие. С учётом этого все остальные решения можно получить подбором знаков плюс или минус


1	+	+	+	+
2	+	–	–	+
3	–	+	+	–
4	–	–	–	–

♦ Другое решение. Вид первого уравнения системы заставляет вспомнить теорему Пифагора и основное тригонометрическое тождество. Логична замена Из последнего уравнения системы имеем

;

преобразование провели с помощью метода введения дополнительного угла.

Наибольшее значение принимает при

Ответ:

♦ Пусть где нечётные целые числа; и взаимно простые целые числа. Упростим равенство Если и оба нечётные, то слева в равенстве нечётное число, а справа чётное. Противоречие. Если одно из них чётно, а другое нечётно, то в левой части одно слагаемое нечётно, а два чётные, их сумма – нечётное число, и оно не может равняться нулю.

♦ Ответ: вершины треугольника с минимальным периметром – основания высот исходного треугольника.

Пусть треугольник с минимальным периметром, вписанный в ; . Отразим точку Р симметрично относительно АС. Получим точку . Отразим точку Р симметрично относительно ВС. Получим точку . Длина ломаной равна периметру треугольника . Длина ломаной больше, чем длина отрезка, соединяющего её концы. В силу минимальности периметра длина ломаной равна длине отрезка . Поэтому точки лежат на одной прямой. В треугольнике угол при вершине равен , боковые стороны равны . В нём чем меньше боковая сторона, тем меньше основание . Длина минимальной боковой стороны равна высоте треугольника АВС. Отсюда, СР – высота треугольника АВС. Аналогично доказывается, что и тоже основания высот.

5. Точка Е – середина ребра куба . Найдите тангенс угла между прямыми и .

♦ Примем ребро куба за 1. Тогда . Проведём прямую через точку параллельно . Она пересекает продолжение ребра в точке , причём

Искомый угол равен углу или смежному с ним. В треугольнике

Ответ:

Олимпиада 2015 года по математике "Океан знаний"

ОТБОРОЧНЫЙ ДИСТАНЦИОННЫЙ ТУР

1. Угол треугольника равен , отличная от точка пересечения окружностей, построенных на сторонах и как на диаметрах. Известно, что . Найдите угол .

2. Решите уравнение

3. Решите уравнение в целых числах

4. На счету Пети в банке 500 долларов. Петя может снять со счёта 300 долларов или положить на свой счёт 198 долларов. Какую максимальную сумму сможет снять Петя и за какое минимальное число операций, если у него нет других денег, кроме этих 500 на счёте?

5. Найдите все значения параметра , для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел и , удовлетворяющих неравенству

6. Решите систему

7. Найдите все функции для которых в выполняется тождество

8. Докажите неравенство при

9. Все координаты вектора отличны от нуля, сумма координат равна 1, а сумма их обратных величин равна нулю. Чему равна длина вектора?

10. Каждый город одной страны связан авиамаршрутом ровно с тремя другими городами этой страны. Из каждого города можно перелететь в другой, сделав не более двух пересадок. Сколько городов в стране?

РЕШЕНИЯ

♦ Так как то точка лежит на прямой Возможны два случая: лежит на отрезке либо на продолжении отрезка за точку Точка не может лежать на продолжении за точку так как угол острый. Положим, что Так как , то .

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов

Во втором случае

Ответ: или

2. Решите уравнение

♦ Решение 1. После замены и возведения в квадрат обеих частей уравнения получим

Корни 1 и –2 очевидны, поэтому уравнение можно записать так

Осталось решить уравнение и сделать проверку.

Ответ:

Решение 2. Замена приводит уравнение к виду

или

После отбора осталось

или

или .

Ни одно значение не удовлетворяет взятым ограничениям.

Ответ:

3. Решите в целых числах уравнение

♦ Ответ: (5; 11), (11; 5).

Решение 1. Если пара чисел удовлетворяет уравнению, то пара тоже удовлетворяет уравнению; оба числа не могут быть отрицательными одновременно. Поэтому достаточно найти решения, для которых , и из них получить остальные.

Все варианты значений и приводят к противоречию с тем, что натуральное число. И лишь в одном случае противоречия нет:

Решение 2.

Пусть тогда Другие предположения о значении приводят к противоречию с условием задачи.

Ответ. 498 долларов; 83 операции. Применим метод обратный ход. При каждой операции Петя снимает или кладёт на счёт сумму долларов, кратную шести. Конечный результат тоже должен делиться на 6, поэтому в итоге обналичить сумму в 500 и 499 долларов он не сможет. Число 498 делится на 6. Докажем, что такую сумму он снять сможет. Получить сумму 498 последней операцией он сможет, только если на счету было 302 доллара, а на руках у него было 198 долларов. Если бы он предпоследним ходом снимал 300, то на счету должно было бы быть 602, а это невозможно. Поэтому предпоследний ход мог быть только такой: положить 198 на счёт. Это значит, что перед предпоследним ходом на счету было 104, а на руках у Пети 396. Соответственно, перед этим ходом на счету было 404, а на руках у Пети 96. Найдём наименьшее число операций, которое даёт возможность Пете иметь на руках 96 долларов. Пусть для этого Петя х раз снимал и у вкладывал деньги на счёт, тогда

, , , . Отсюда, 83 – минимальное количество операций, которое позволит Пете обналичить сумму в 498 долларов. Приведём схему получения 498 долларов за 83 операции.

На счету	500	200	398	98	296	494	194	392	92
В кармане	0	300	102	402	204	6	306	108	408

290	488	188	386	86	284	482	182	380	80
210	12	312	114	414	216	18	318	120	420

278	476	176	374	74	226	470	170	368	68
222	24	324	126	426	228	30	330	132	432

266	464	164	362	62	260	458	158	356	56
234	36	336	138	438	240	42	342	144	444

254	452	152	350	50	248	446	146	344	44
246	48	348	150	450	252	54	354	156	456

242	440	140	338	38	236	434	134	332	32
258	60	360	162	462	264	66	366	168	468

230	428	128	326	26	224	422	122	320	20
270	72	372	174	474	276	78	378	180	480

218	416	116	314	14	212	410	110	308	8
282	84	384	186	486	288	90	390	192	492

206	404	104	302	2
294	96	396	198	498

♦ Функция кусочно-линейная и при угловой коэффициент равен либо –2, либо –8, а при угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция убывает при и возрастает при . Поэтому