Переходная матрица состояния и решение уравнения состояния

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Основное преимущество линейных дифференциальных уравнений состоит в том, что можно указать замкнутую форму решения таких уравнений.

Решение матричного дифференциального уравнения (1.26), используемое в дальнейшем для исследования динамических характеристик систем, можно получить исходя из свойств матричной показательной функции вида

(1.30)

получившей название переходной матрицы состояния. Переходная матрица состояния определяется как обратное преобразование Лапласа сомножителя в передаточной функции системы:

(1.31)

Рассмотрим основные свойства функции (1.30):

1) (1.32 а)

2) (1.32 б)

3) (1.32 в)

для (1.32 г)

4) (1.32 д)

5) (1.32 е)

6) , для любых (1.32 ж)

Пусть в некоторый момент времени t = tо на вход системы приложено воздействие u(t), представляющее собой кусочно-непрерывную функцию времени, тогда решение х(t) уравнения (1.26а) можно представить в виде

(1.33)

где х(t₀) - значение переменной состояния в некоторый начальный момент времени t = t₀.

В частном случае, если t₀ = 0, выражение (1.33) упрощается и принимает вид

(1.34)

Доказывается, что выражение (1.33) является решением уравнения (1.26) простой подстановкой (1.33) в (1.26) с дифференцированием в левой и правой части.

В решениях дифференциальных уравнений принято выделять 2 движения:

- Собственное движение, определяемое как движение обусловленное ненулевыми начальными значениями, независимое движение от управляющих процессов (хотя может они и вывели ранее систему в это положение). Это 1-ое слагаемое в решении линейных дифференциальных уравнений (является для линейного решения ) состоит из переходной матрицы умноженной на значение переменной в начальный момент времени.

- вынужденное движение, определяемое как составляющее движение под действием управляющего входного сигнала. Это интегральное слагаемое в решении, которое в разных дисциплинах имеет множество названий ( например интеграл Дюамеля, интеграл свертки и т.д…).

Отметим, что в такой форме (1.33) записывается решение только для линейных систем, но понятие «собственное» и «вынужденное» движения есть и для нелинейных систем.

Важнейшим вопросом, связанным с решением дифференциальных уравнений является вопрос нахождения решений уравнений, когда может наблюдаться качественное изменение решения дифференциальных уравнений и именно когда при изменении параметров входящих в описании системы, вместо затухающего собственного движения может наблюдаться расходящееся движение, и тогда в общем решении дифференциальных уравнений вклад собственного движения огромен, а движение обусловленное управляющим воздействием мало, т.е. объект практически не реагирует на входной сигнал, а наблюдаем только собственное, как правило, ненужное нам движение объекта.

Системы с параметрами, при которых имеем затухающее собственное движение называются устойчивыми.

В точностных исследованиях систем вопросы обеспечения устойчивости – это очень важный раздел, и вы его изучали в курсе ТАУ, а непосредственно в рамках данного курса мы его внимательно не рассматриваем, хотя кому то придется выяснять при моделировании, что за причины расходящихся движений системы: собственная устойчивость исходной САУ или вопросы связанные с неправильными операциями дискретизации процессов по времени и т.д…

Пример 1.

дифференциальное уравнение 1-го порядка

Начальные значения:

входной сигнал:

выходной сигнал:

Т, k- известные числа, характеристики звена;

k – Статический коэффициент усиления.

Начальные значения:

/известное число/

Звено описывается с помощью дифференциального уравнения 1-го порядка (апериодичное звено).

Т – const – постоянная времени;

- входной сигнал;

- выходной сигнал;

k – статический коэффициент усиления;

- единичная ступенька

Движение системы (звена) мы всегда рассматриваем, состоящим из двух составляющих: из свободного движения (движения, обусловленного внутренними свойствами звена и обусловленного ненулевыми начальными условиями). В математике свободное движение ищется как общее решение однородного уравнения (без правой части дифференциального уравнения (т.е. входной сигнал=0)).

Записываем характеристическое уравнение

Собственное движение:

отсюда :

т.е.

_ ______

≈(3 4) Т

Собственное движение – это движение, которое в СУ, как правило, должно с течением времени сходится к нулю. Такие системы – устойчивые. Исследования устойчивости линейных систем – это исследования собственного движения.

Вынужденная составляющая – то движение, которое обусловлено внешними воздействиями на систему.

Вынужденное движение состоит из двух составляющих:

1 – частное решение неоднородного уравнения;

2 – общее решение однородного уравнения.

Вынужденное движение ищется при нулевых начальных условиях.

Найдем вынужденное движение:

а) Частное решение. Для того, чтобы решать неоднородные уравнения разработана специальная методика по решению дифференциальных уравнений со специальной правой частью. Если входной сигнал – постоянная величина, то и частное решение есть постоянная. Если входной сигнал гармонический – частное решение в виде гармонического сигнала (такой же частоты). Если входной сигнал экспонента – то в виде экспонент и т. д. Для нашего примера:

x_2част(t)=A=const

Подставляем в исходное уравнение:

T +A=k 1

Отсюда: A=k

x_2част(t)=k (k-известное число)

б) Общее решение уже находили

x_2одн(t)=С₁ е^-^t^/T^{- однородное}

x_{2вынужд.}(t)=x_2част(t)+ x_2одн(t)=k+С₁е^-^t^/T

при нулевых начальных условиях

x_{2вынужд.}(0)= k+С₁е^-0/^T=0

отсюда:

k+С₁=0 С₁=-k

x_{2вынужд.}(t)=k-kе^-^t^/T=k(1-e^-t^/T) –при единичном входном сигнале эта переходная функция

Выходной сигнал при нулевых начальных условиях, т.е. обусловлено вынужденной составляющей при единичной функции на входе, называется переходной функцией системы.

! Пример 2.

Входной сигнал - гармоничное воздействие

Т +х₂(t )=k sin t

T, k, - известные значения; может принимать любые значения, но предполагается, что для конкретного данного решения системы - постоянно.

х₂(t=0)=x_20.

Решение будет состоять из:

₁₎Решение однородного уравнения х_2соб(t)=х₂₀е^-^t^/T(аналагично примеру1)

2) Вынужденное:

частное решение: х_2част(t)=C₁sin t+C₂cos t;

Подставим в частное решение в дифференциальном уравнении, найдем С₁, С₂

Т(С₁cos t* (-C₂)sin t* )+C₁sin t+C₂cos t=ksin t

Приравниваем левую и правую части:

TC₁cos t* +C₂cos t=0

-C₂Tsin t* +C₁sin t=ksin t

ТС₁ +C₂=0 C₂=-ТС₁

-ТС₂ +C₁=k

C₁=k+Т (-ТС₁ )

C₁(T² ²+1)=k C₁=

C₂=-

A ( ) - амплитудно-частотная характеристика системы (звена) (в данном случае - апериодическое звено);

φ ( )=arctg (- ) - фазо-частотная характеристика (в данном случае - это ФЧХ апериодического звена);

вынужденное движение состоит из следующего:

x_{2вынужд.}(t)=A( )sin( t+ φ ( ))+C₁∙e^-t/T

подставляем нулевые условия: t=0

А( )sin (φ ( ))+C ₁ =0

C₁=-A( )sin(φ( ))

x_{2вынужд.}(t)=A( )sin( t+φ( ))- A( )sin(φ( )) e^-t/T

x₂(t)=x₂₀e^-t/T+ A( )[sin( t+φ( ))-sin(φ( )) e^-t/T] – вых. сигнал

Когда на систему действует несколько воздействий, то у линейных систем есть свойство суперпозиции состоящее в том, что эффект от действия суммы воздействий можно рассчитать как аддитивную сумму от каждого из воздействий в отдельности и тогда решение будет в виде:

Пример 3.

Рассмотрим упрощенную модель задачи управления самолетом по углу рыскания в горизонтальном полете. Предположим, что порывы ветра, создавая момент w_в(t), разворачивают самолет относительно требуемого направления и требуется корректировать ошибки рыскания с помощью соответствующих отклонений руля.

Рис. Схематическая модель динамики самолета

Осевая линия самолета

Расчетное направление

Ось рыскания

Руль

Графически это модель изображена на рис. 3. Здесь - ошибка рыскания, а - отклонение руля. Ось рыскания, проходящая через центр тяжести, вертикальна. Самолет имеет относительно этой оси момент инерции J, восстанавливающий момент пропорционален отклонению руля.

Второй закон Ньютона относительно вертикальной оси:

где k₁ – коэффициент пропорциональности между отклонением руля и восстанавливающим моментом (k₁ >0)

w_в(t) – момент, вызываемый порывами ветра.

Разделив уравнение на J и обозначая , имеем:

Полученное дифференциальное уравнение имеет второй порядок. Поэтому кроме знания функций u (t ) и w (t ) для нахождения его решения при требуется задать два начальных условий: начальную ошибку по углу рыскания и начальную ошибку по скорости изменения угла рыскания.

Вводя переменные и запишем уравнение системы в следующем виде:

Или, что то же самое:

где - вектор состояния, состоящий из двух физических величин: ошибки по углу рыскания и ошибки по скорости изменения угла рыскания.

Сравнивая полученный результат с уравнением (1.26) можно видеть, что в рассматриваемом случае:

а возмущение w (t ) и управление u (t ) являются скалярами.

Предполагая, что ошибки по углу рыскания и скорости его изменения можно измерять на борту самолета с помощью инерциальной системы, уравнение измерения можно записать в виде:

где - вектор измерения

- вектор ошибки измерения, т.е. v ₁ (t ) – ошибка измерения угла рыскания, а v ₂ (t ) – ошибка измерения скорости изменения угла рыскания.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 836; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!