Уравнение состояния и передаточная функция

Часто элементы САУ представляются в форме отличной от их описания в виде

дифференциальных уравнений. Каждый разработчик представляет модель своего элемента в удобном для него виде.

Для описания линейных систем самой распространенной формой является описание в виде передаточных функций, позволяющее очень легко решать задачи нахождения общего описания системы по ее составляющим звеньям, а также имеется хорошо отработанный и легкий в применении аппарат проектирования систем с такими описаниями, известный как классический частотный метод проектирования линейных САУ. Платой за удобство является необходимость перехода из области оригиналов в область изображений.

Если уравнение для выходной переменной формализовано представляется в виде:

(1.26)

где х(t) - n-мерный вектор переменных состояния, u(t) - входное воздействие, у(t) - выходная координата. Параметры b_с, c_с для многомерных систем имеют вид матриц соответствующих размерностей, например В_c(n × m), С_c(р × n).

Применим прео6разование Лапласа к системе уравнений (1.26).

Обозначим такое преобразование функции x(t) как F⁺¹{x(t)} = X(s). Тогда преобразование Лапласа производной этой функции будет иметь вид

В результате преобразования Лапласа обеих частей уравнения получим

Это дает нам возможность представить систему уравнений на комплексной плоскости S в виде

Здесь U(s), Y(s) -- преобразование Лапласа соответственно для функций u(t), у(t) (в случае многомерных систем преобразование Лапласа векторных функций осуществляется покомпонентно). Принимая х(0) = 0, из приведенных выше выражений получим

Отношение называется передаточной функцией непрерывной системы. Преобразовав обратную матрицу в выражении, можно переписать передаточную функцию в виде:

Выражение представляет собой правильную рациональную дробь, степень полинома знаменателя которой больше либо равна степени полинома числителя. Корни полинома знаменателя передаточной функции:

или, другими словами, собственные (характеристические) числа матрицы А_с, называются полюсами системы, а корни полинома числителя:

нулями системы.

Пример 1.3. Пусть имеется электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных элементов: катушки индуктивности L, конденсатора емкостью С и активного сопротивления R. Падения напряжения на элементах такой электрической цепи u(t) и ток в контуре i(t) подчиняются зависимостям

, , (1.27)

Исходя из зависимостей (1.27) и закона Кирхгофа можно получить уравнение состояния для данной системы. Для этого, приняв за переменные состояния ток, протекающий через катушку индуктивности, и напряжение на обкладках конденсатора, запишем уравнение баланса напряжений в виде: