Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли
Ряд практических задач сводится к схеме испытаний Бернулли: Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления случайного события А постоянна и составляет P(A). Требуется определить вероятность того, что при n независимых испытаниях случайное событие А произойдёт m раз, 
. При этом 
.
Для расчёта используют формулу Бернулли:
(2.11)
где 
- число сочетаний, определяемое по формуле Ньютона.
Пример 2.2. Вероятность того, что суточный расход электроэнергии не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение.
Вероятность нормального расхода электроэнергии в течение 6 суток постоянна и составляет p = 0.75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждом из этих суток также неизменна и равна q = 1 – p = 1 – 0.75 = 0.25. Таким образом, имеет место схема испытаний Бернулли.
В соответствии с формулой Бернулли (2.11) искомая вероятность 
определится следующим образом
Необходимо подчеркнуть, что при больших значениях m и n воспользоваться формулой Бернулли крайне затруднительно, из-за сложности вычислений.
Определенным выходом в таких ситуациях является использование приближённых формул Лапласа.
2.3.3. Приближённые формулы Лапласа
è Приближённая локальная формула Лапласа
|
|
|
В рамках схемы испытания Бернулли вероятность того, что при n независимых испытаниях случайное событие А произойдёт m раз, может быть определена по приближённой локальной формуле Лапласа
(2.12)
где 
- локальная функция Лапласа, значения которой находятся по таблице П.3.1 (Приложение 3). Необходимо помнить, что локальная функция Лапласа является чётной, т.е. 
.
Пример 2.3. Найти вероятность того, что 80 из 400 цифровых вольтметров не будут соответствовать классу точности, если вероятность появления такого события в каждом испытании составляет 0,2
Решение
По условию имеем n = 400; m = 80; p = 0.2; q = 1–0.2 = 0.8. В рамках схемы испытаний Бернулли для упрощения расчётов воспользуемся, согласно выражения (2.12), приближённой локальной формулой Лапласа
где 
найдено по таблице П3.1 (Приложение 3)
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату 
(расчёты ввиду их громоздкости опущены).
è Приближённая интегральная формула Лапласа
Для схемы испытаний Бернулли вероятность того, что событие А происходит от a до b раз в n испытаниях, 
можно определить по приближённой интегральной формуле Лапласа:
|
|
|
(2.13)
где 
- интегральные функции Лапласа, значения которых находятся по таблице П.3.2 (Приложение 3). Следует иметь в виду, что интегральная функция Лапласа является нечётной, т.е. 
Пример 2.4. Вероятность того, что в электрических сетях произойдёт трёхфазное короткое замыкание равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 случаев различных видов коротких замыканий число трёхфазных коротких замыканий составит от 70 до 100 раз.
Решение.
По условию примера имеем n = 400; a = 70; b = 100; p = 0.2; q = 1–0.2 = 0.8.
В рамках схемы испытания Бернулли для упрощения расчётов воспользуемся, согласно выражения (2.13), приближённой интегральной формулой Лапласа
По таблице П3.2 (Приложение 3) находим 
=0,4938; 
=0,3944
Окончательно, искомая вероятность составит
[1] probability – вероятность
[2] под элементарным исходом понимают один из возможных результатов испытания
[3] если вероятность появления различных исходов (событий) в рамках полной группы одинакова, то такие исходы (события) являются равновероятностными
[4] quit – отказ
[5] «on-line» - в режиме реального времени
[6] получена английским математиком Байесом в 1764 г.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 512; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!