Тема 1.1. Случайные события в электроэнергетике

Раздел 1. Основные понятия и определения теории вероятностей

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных событий

Возникновение теории вероятностей относят к середине XVII века, когда впервые в работах Кардано, Паскаля, Ферма и Гюйгенса были сформулированы правила подсчёта вероятностей различных исходов азартных игр.

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705 гг.) Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел» была первым теоретическим обоснованием ранее накопленных фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Большой вклад в разработку вопросов теории вероятностей внесла русская математическая школа, в частности, В.Я. Бунякский П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.Н. Ляпунов и советские математики С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В Гнеденко, Н.В. Смирнов и др.

В основе теории вероятностей лежит понятие события. Случайным событием называют событие, которое при осуществлении определённой совокупности условий, может либо произойти, либо не произойти. При этом достоверным называется событие, которое при конкретных условиях S обязательно произойдёт, а невозможным – событие, которое при заданных условиях S не может произойти. Таким образом, событие рассматривается как результат испытаний.

Основные виды случайных событий и возможные связи между ними представлены в Приложении 1.

Что же даёт основание считать то или иное событие случайным, достоверным или невозможным? Только опыты или наблюдения за событиями могут привести к каким-либо выводам. Однако опыты или наблюдения должны быть при этом достаточно длительными (представительными). Иначе суждение о том, что событие является случайным, достоверным или невозможным, может оказаться ошибочным. Только при достаточно большом количестве наблюдений за данным событием можно установить, является ли вообще данное событие случайным.

Естественно, возникает вопрос, существуют ли закономерности у случайных событий? Не являются ли понятия «закономерность» и «случайность» взаимно исключающими? Нет, эти понятия диалектически связаны между собой и не исключают друг друга. Произойдёт ли в данном случае или не произойдёт случайное событие определяется совокупностью большого числа причин, которые в большинстве случаев практически нельзя проанализировать, но всё же случайное событие происходит вполне закономерно. Так же как невозможно проанализировать все причины, влияющие на возникновение случайного события, то и невозможно с достоверностью предсказать, произойдёт оно или нет в данном конкретном случае. Если же рассматривать достаточно большое число случаев (исходов), когда событие может произойти или не произойти, или производить большое число опытов (испытаний), то у любого случайного события начнёт проявляться объективная закономерность.

Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта то или иное значение, неизвестное заранее (априори). Между случайной величиной и случайным событием существует тесная связь. Если каждому случайному событию можно поставить в соответствие какую-либо величину, то появлению того или иного случайного события также соответствует та или иная случайная величина. В качестве случайной величны можно принять и число однородных случайных событий за определённый промежуток времени. Случайные величины отличаются от детерминированных тем, что в разных случаях (или испытаниях) их значения, в отличие от последних, могут быть разными. Однако, в общем случае, все случайные величины подчинены тем или иным объективным закономерностям. Так, например, они могут иметь ограниченные области возможных значений; различные значения случайных величин могут иметь различные вероятности и т.д.. Заметим, что к числу случайных величин относятся такие величины, как погрешности измерения, ошибки прогнозирования и т.д.

Случайной функцией называется величина, изменяющаяся случайным образом при изменении аргумента. В отличие от детерминированной функции, имеющей конкретные значения при определённом значении аргумента, случайная функция при заданном значении аргумента продолжает оставаться случайной величиной, т.е. может иметь различные значения с различной вероятностью их появления.

Если аргументом случайной функции является время, как это имеет место в большинстве практических приложений, то такая случайная функция называется случайным процессом.

В каждом отдельном опыте случайная функция имеет конкретное значение и представляется некоторой вполне определённой неслучайной функцией аргумента. Эта конкретная функция называется реализацией случайной функции в данном опыте.

Рис.1.1 Изменение случайного параметра

- случайная величина; - случайные функции (реализации)

- область изменения случайного процесса для параметра х

В соответствии с рис. 1.1. для случайного параметра, x случайными величинами являются значения параметра в отдельные моменты времени, случайной функцией – изменения случайной величины во времени, а случайным процессом – семейство (ансамбль реализаций) случайных функций изменения параметра x во времени.

Тема 1.1. Случайные события в электроэнергетике

Лекция проводится в интерактивной форме: лекция-беседа, лекция с разбором конкретных ситуаций (2 часа).

ЭЭС и системы электроснабжения объединяют большое число различных технических устройств генерирующих, передающих и преобразующих электрическую энергию [1]. Естественно, что условия работы большой совокупности даже однородных электротехнических устройств резко отличаются друг от друга и носят с точки зрения энергосистемы случайный характер. Это приводит к изменению случайным образом, как параметров схемы, так и параметров режима электрической сети.

Примером случайного характера изменения параметров схемы системы (сети) может служить изменение конфигурации (топологии) электрической сети, происходящее случайным образом из-за возникновения аварийных повреждений элементов электрической сети. В свою очередь, аварийные повреждения отдельных элементов электрической сети (генераторы, турбины, котлы, трансформаторы, линии электропередачи, выключатели, реакторы и т.д.) также являются случайными событиями, возникающими в результате наложения большого числа неблагоприятных факторов. При этом заранее нельзя предсказать какой конкретно элемент электрической сети и в какой момент времени откажет. Аварийные повреждения электрооборудования могут вызвать, при отсутствии достаточного резерва мощности генерирующих источников, нарушение электроснабжения электроприёмников энергосистемы.

К числу параметров режима, изменяющихся случайным образом, относится, в частности, величина электропотребления. Электрические сети энергосистем питают десятки и сотни тысяч приёмников электрической энергии (промышленные установки, электродвигатели, насосы, нагревательные устройства, осветительные установки и т.п.), работающие во многих случаях независимо друг от друга. Эти электроприёмники в течение суток могут быть подключенными или отключенными от электрической сети и работать с той или иной загрузкой. При этом, даже если электропотребление каждым электроприёмником будет неслучайным событием, то электропотребление в целом по энергосистеме будет случайной величиной, т.к. заранее невозможно достоверно предсказать, какая будет нагрузка электрической сети тот или иной момент времени.

В итоге, основные условия работы энергосистемы, а именно условия, определяющие величины электропотребления в энергосистеме и суммарной располагаемой мощности для его покрытия, в свою очередь определяются большим числом случайных событий. Только зная количественные характеристики таких случайных событий можно достоверно определить суммарное электропотребление, величину необходимого резерва мощности для обеспечения бесперебойного электроснабжения потребителей и т.д.

Для количественного сравнения случайных событий между собой по частоте их появления используют вероятность^{^[1]} события, p . Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления случайного события при конкретных условиях S. Если при вычислении вероятности появления события A никаких других ограничений, кроме конкретных условий S не присутствует, т.е. рассматривается независимое случайное событие, то такую вероятность называют безусловной, P(A).

Для зависимых случайных событий имеются дополнительные условия (ограничения), лишь при выполнении которых может появиться случайное событие А. Вероятность появления такого зависимого случайного события А называют условной.

Условная вероятность P(A/B) определяет вероятность появления случайного события A, вычисленную в предположении, что случайное событие B уже произошло.

В электроэнергетике к зависимым случайным событиям можно отнести, к примеру, повреждения отдельных фаз линии электропередачи. При повреждении одной фазы линии электропередачи в сети с изолированной нейтралью напряжения других фаз возрастают в раз, что увеличивает вероятность их повреждения. Но даже в сети с заземлённой нейтралью, где повышения напряжения на других фазах не происходит, ионизация воздуха, обусловленная коротким замыканием на одной фазе, является независимым случайным событием, а одновременное повреждение фаз в одном и том же месте является зависимым случайным событием.

Возможны два метода определения безусловной вероятности случайного события – классический и статистический.

Классическая вероятность случайного события А, P ( A ) применима только в том случае, если изучаемое случайное событие образует полную группу, Z элементарных^{^[2]} несовместных и равновероятностных исходов^{^[3]} (Приложение 1)

Её численные значения определяются отношением числа благоприятствующих этому случайному событию А равновероятностных несовместных элементарных исходов, m к общему числу таких исходов n для случайного события, А образующих полную группу исходов

(1.1)

Из определения классической вероятности и выражения (1.1) вытекают следующие её свойства

Свойство 1. Вероятность достоверного события, U равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует появлению такого события. По этой причине имеем

Свойство 2. Вероятность невозможного события, V равна нулю.

Понятно, что если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует появлению этого события. В этом случае m=0, следовательно,

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей.

В большинстве случаев, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. При этом 0< m < n, значит, 0< m / n <1

Итак, вероятность любого случайного события удовлетворяет двойному неравенству

Характеристика, противоположная появлению случайного события А, называется отказом^{^[4]}, q(A) и определяется по выражению

(1.2)

К сожалению, на практике общее число элементарных исходов случайного события, а также «благоприятных» элементарных исходов, крайне трудно определить. Кроме того, далеко не всегда удаётся доказать правомерность допущения о равной вероятности появления тех или иных случайных событий в рамках данной группы. Поэтому в электроэнергетике вместо классической вероятности случайного события значительно чаще используется статистическая вероятность, . Под статистической вероятностью случайного события понимают относительную частоту появления данного случайного события А при достаточно большом числе испытаний, n .

(1.3)

где - общее число появлений случайного события A

Пример 1.1. В низковольтных электрических сетях 0,4 кВ в течение четырёх часов с дискретностью Δ t = 15 мин. производились измерения величины тока нагрузки, (табл. 1.1). Какова вероятность того, что за период измерений величина не превысила 15 А.

Таблица 1.1

Исходные данные

Часовые интервалы	Величина тока нагрузки, А
10:00 – 11:00	13	15	14	20
11:00 – 12:00	9	14	12	16
12:00 – 13:00	17	24	13	14
13:00 – 14:00	13	9	7	11

Решение.

Используя выражение (1.3) вычислим статистическую вероятность появления величины при общем числе испытаний n=4x4=16

Пример 1.2. Цифровая система содержит 5 электронных блоков и выходит из строя при отказе любых двух блоков. Какова вероятность того, что цифровая система выйдет из строя по причине отказа чётных блоков (№2 и №4), если известно, что .

Решение

В таблице 1.2. представим полную группу возможных вариантов выхода из строя цифровой системы при отказе любых двух блоков. Число таких вариантов – число сочетаний, , определяемое по формуле бинома Ньютона, составит:

Таблица 1.2

Возможные варианты функционирования цифровой системы при отказе двух блоков.

Номер блока	Варианты
Номер блока	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
1	–*	+**	+	+	+	–	–	–	+	+
2	–	–	+	+	–	+	+	+	+	–
3	+	–	–	+	+	+	+	–	–	+
4	+	+	–	–	–	+	–	+	+	+
5	+	+	+	–	+	–	+	+	–	–

* «–» отказавший блок

** «+» работающий блок

В соответствии с табл. 1.2. пятый вариант соответствует выходу из строя цифровой системы по причине отказа 2-го и 4-го блоков.

Тогда с учётом формулы полной вероятности (формула П.1.11, Приложение 1) искомая вероятность появления этого варианта из 10 возможных определится как

Обычнов электроэнергетике приходится определять вероятности не простых случайных событий, а сложных случайных событий, являющихся комбинациями ряда простых (элементарных) случайных событий. В качестве примера рассмотрим аварийные повреждения электрооборудования на энергообъектах или в электрических сетях. При большом количестве агрегатов электростанций и элементов сети повреждения одних устройств могут сочетаться с повреждениями других устройств. Возникает задача определения вероятности одновременного повреждения двух, трёх и более устройств (агрегатов) или элементов сети. В ряде случаев необходимо также определять вероятность того, что никаких повреждений в энергосистеме нет – вероятность безотказной работы, так как эта величина характеризует надёжность работы всего оборудования. Аналогичные задачи возникают и при необходимости выбора оптимального решения, связанного с обеспечением или надёжности работы энергосистемы (выбор оптимального резерва мощности), или надёжности питания отдельных потребителей (выбор оптимальной схемы электроснабжения потребителя), или устойчивости энергосистемы (выбор оптимального уровня устойчивости). Во всех этих случаях отдельные повреждения рассматриваются как независимые и совместные случайные события.

Пример 1.3. Определить вероятность повреждения энергетического блока, , представляющего собой последовательное соединение парового котла с паровой турбиной и электрическим генератором. Паровая турбина получает весь пар от парового котла. Генератор расположен на одном валу с турбиной, т.е. использует всю её мощность. Вероятности повреждения отдельных элементов блока известны и составляют: =0.02; =0,01 и =0,001 для котла, турбины и генератора соответственно.

Решение

Очевидно, что аварийный выход из работы всего блока может иметь место при повреждении хотя бы одного из трёх указанных элементов блока. Так как безаварийная работа элемента блока, является событием, противоположным повреждению, то вероятности безаварийной работы отдельных элементов блока можно рассчитать, исходя из выражения (1.2)

= 1 – 0,02 = 0,98; = 1 – 0,01 = 0,99; = 1 – 0,001 = 0,999

Найдём вероятность того, что все элементы блока не повреждены, т.е. блок работает исправно. Так как аварийность каждого элемента можно считать независимой от других элементов, то вероятность того, что все три элементы не повреждены, т.е. вероятность безаварийной работы блока, составит:

Повреждение блока по любой причине является событием, противоположным по отношению к безотказной работе блока. Поэтому, согласно (1.2), вероятность повреждения блока, определится как:

Можно найти эту же величину, если рассмотреть полную группу возможных повреждений элементов блока: а) котла; б) турбины; в) генератора; г) котла и турбины; д) котла и генератора; е) турбины и генератора; ж) котла, турбины и генератора

В таблице 1.3 представим полную группу возможных повреждений различных элементов блока.

Таблица 1.3

Возможные варианты повреждения элементов блока.

Элемент	Варианты
Элемент	I	II	III	IV	V	VI	VII
Котёл	–	+	+	–	–	+	–
Турбина	+	–	+	–	+	–	–
Генератор	+	+	–	+	–	–	–

Найдём вероятность появления каждого из возможных семи случаев повреждения элементов блока:

а) вероятность повреждения котла,

Было бы неправильно считать, что вероятность повреждения только котла равна 0,02, так как в число событий «повреждение котла» вошли события одновременного повреждения котла и других элементов блока.

В случае а) интерес представляет повреждение только котла при безотказной работе других элементов. Именно поэтому величина 0,02 умножается на 0,99 и на 0,999.

б) вероятность повреждения турбины,

Аналогично рассчитаем вероятности для остальных случаев, представленных в таблице 1.3:

в)

г)

д)

е)

ж)

Если сложить вероятности повреждений для всех семи случаев, то получится вероятность повреждения блока, равная 0,0307702. Как видно из результатов вычислений, для определения вероятности повреждения блока первый способ гораздо проще и требует меньше расчётов. Зато второй способ позволяет не только получить величину общей вероятности повреждения блока, но и проанализировать вероятности различных причин повреждения всего блока. Расчёты показали, что наибольшее значение имеет вероятность повреждения котла, а затем – турбины. Вероятность этих двух случаев составляет 0,00295704 из общей вероятности повреждения блока, равной 0,0307702.

Пример 1.4. Потребитель питается по двухцепной линии электропередачи. Вероятность повреждения и выхода из строя каждой цепи составляет =0,001. Потребитель может получить всю требуемую мощность по любой из цепей. Какова вероятность сохранения бесперебойного электроснабжения, данного потребителя?

Решение.

Потребитель теряет электроснабжение только в случае аварийного выхода обеих цепей. Вероятность этого события равна . Вероятность сохранения питания, т.е. надёжность энергоснабжения, по формуле (1.2) равна 1 – 0,000001 = 0,999999. Если по одной цепи может быть передано только 50% мощности, то вероятность передачи только 50% мощности можно определить так. Вероятность отказа первой цепи, при сохранении второй, равна , где второй множитель соответствует вероятности сохранения второй цепи. Вероятность отказа второй цепи, при сохранении в работе первой, составляет . Суммарная вероятность отказа только одной цепи определится как сумма обеих вероятностей, т.е. 0,001998.

С учётом вышеизложенного, вероятность сохранения полной нагрузки, определится следующим образом:

В свою очередь, вероятность полной потери питания, составит

Заметим, что сумма вероятностей сохранения полной нагрузки, сохранения 50% нагрузки и полной потери питания равна единице, так как эти события составляют полную группу несовместных событий:

Пример 1.5. Пусть статистическая вероятность повреждения любой из фаз линии, ∑P(A) составляет 0,001. Примем также, что если произошло повреждение одной из фаз, то повреждение любой другой фазы будет иметь статистическую вероятность 0,2, т.е. условная вероятность повреждения второй фазы при повреждении первой равна 0,2. Кроме того, пусть аналогичные вероятности повреждения одной фазы при повреждении двух других ; ; составляют 0,5. Определить соотношения вероятностей одно-, двух- и трёхфазных коротких замыканий при условии, что авария началась с повреждения одной фазы.

Решение

Определим вероятность аварийного повреждения двух фаз:

По аналогии, вероятность аварийного повреждения трёх фаз составит:

Определим условные вероятности развития аварии, т.е. условные вероятности повреждений других фаз. Пусть статистистикой установлено, что однофазных коротких замыканий в данной сети за некоторый длительный период времени было 100, а в 20 случаях из них повредилась и другая фаза. Приняв число аварий пропорциональным числу вероятности, можно, определить условную вероятность повреждения и другой фазы:

Таким образом, соотношения вероятностей одно-, двух- и трёхфазных повреждений в анализируемой электрической сети окажутся равными: 0,001; 0,0002; 0,0001, или примерно 77% однофазных, 15% двухфазных и 8% трёхфазных коротких замыканий.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 2607; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!