ОТКУДА ВЗЯЛАСЬ ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ ? 10 страница



 

 

2. Введение в основы

русской геометрии

 

2.1. Динамика аксиомы о параллельных

 

Прежде чем очень кратко познакомиться с основами русской (динамической) геометрии вспомним весьма важное для ее понимания понятие «бесконечность». Она качественно мыслится в пространстве как бесконечность наружу или «вширь» (в смысле отсутст­вия внешних границ) и как бесконечность вглубь (в смысле бесконечной делимости). В свою очередь каче­ственная бесконечность имеет две градации: одна — как движение, нескончаемый процесс, постоянное станов­ление (потенциальная бесконечность), другая — как не­что данное, имеющееся, наличное бытие (актуальная не кантовская бесконечность).

Именно использование понятия "бесконечность" в ос­нованиях геометрии определяет ее структуру [35]. Так, опора на актуальную бесконечность предполагает суще­ствование трехмерного не качественного метрического пространства, заполненного неподвижной (статической) изотропной материей, структурированной по иерархии равнозначных бесконечностей, при полном отсутствии движения и, следовательно, времени. Все геометрии, и в первую очередь геометрия Евклида, построены с ис­пользованием свойств актуальной бесконечности и по­тому являются геометриями статическими.

Потенциальная бесконечность предполагает матери­альность (телесность) безграничного пространства и его всеобщее бесконечное самодвижение (динамику), а вместе с ним и время, и все физические свойства. По­этому первичные понятия геометрии, построенной на свойствах потенциальной анизотропной бесконечности, отличаются от первичных понятий актуальной геомет­рии не только движением, но и взаимосвязью свойств (фигур), т.е. структурой. Геометрии, отражающей потенциальную бесконечность, еще не по­строено, но можно отметить, что она будет качественно отличаться от статических геометрий, нагляднее ото­бражать явления природы, а, следовательно, и точнее описывать их. К тому же «замораживание» движения элементов динамической геометрии в определенном по­рядке обусловливает возможность построения любой статической геометрии, и, следовательно, все они ока­зываются производными от нее. А теперь обратимся к аксиоме о параллельных Евклида.

В Евклидовой геометрии, созданной в III в. до н.э., на основе незначительного количества априорных аксиом выводятся все ее теоремы. Однако пятая аксиома ¾ ак­сиома о параллельных — по содержанию больше напо­минает теорему. Но многочисленные попытки предста­вить ее в виде теоремы оказались неудачными. До нашего времени она дошла в следующей формулировке:

«Через точку, лежащую на плоскости вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

В этой формулировке постулируется несколько поло­жений, нарушающих условия статичности:

• геометрия Евклида статична, а в формулировку за­ложено движение (динамика), к тому же в неявной фор­ме ¾ на бесконечности;

• предлагается движение в одном направлении, что не гарантирует пересечения прямых в другом направлении;

• условия движения на бесконечности не определены, а потому возможно движение без взаимодействия с про­странством или во взаимодействии с ним. В последнем случае взаимодействие будет проявляться в искривле­нии линии (геометрии Лобачевского и Римана);

• постулируется, и тоже неявно, возможность дли­тельного движения прямой, которое возможно только во времени. Статическая же геометрия времени не содер­жит.

Таким образом, аксиома о параллельных сформулиро­вана неопределенно и потому может иметь несколько дефиниций. И действительно в XIX в. сначала Лобачев­ский, а затем Риман предложили еще две формулировки аксиомы о параллельных. Лобачевский предположил, что:

« Через точку на плоскости, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное множество прямых, параллельных первой».

И построил на этой основе логически непротиворечи­вую геометрию отрицательной кривизны. Геометрия положительной кривизны сформулирована Риманом как отрицание постулата Лобачевского:

«Через точку на плоскости, лежащую вне прямой, невозможно провести ни одной прямой, параллельной первой».

И на этой основе была построена логически непроти­воречивая сферическая (?? – А.Ф.) геометрия.

Итак, мы имеем три двойственных формулировки ак­сиомы о параллельных: Евклида, Лобачевского и Римана. Все они базируются на использовании как свойств актуальной, так и потенциальной бесконечности [36]. Возникает вопрос: можно ли сформулировать аксиому о параллельных на основе только свойств потенциальной бесконечности?

Отметим еще раз, что основное свойство потенциаль­ной бесконечности ¾ движение, которое остается не­завершенным на бесконечности. Воспользовавшись этим свойством, сформулируем динамическую аксиому о параллель­ных:

Прямые — следы точек, движущихся к еди­ному центру и не достигающих этого центра за бесконечный промежуток времени, ¾ параллельны.

В этой аксиоме предполагается, что следы ¾ прямые, образуе­мые движущимися точками, совместно стремятся к еди­ному центру, который может находиться в любой точке пространства, но оставаться недостижимым, поскольку свойства напряженности пространства изменяются и своим изменением замедляют их движение (вспомните температурную сферу А. Пуанкаре). Каждый после­дующий шаг для них оказывается меньше предыдущего, и поэтому расстояние до центра О не может быть прой­дено даже за бесконечный промежуток времени. То есть эти движущиеся прямые никогда не пересекутся и, сле­довательно, они параллельны. Геометрия, основанная на данной аксиоме, названа русской геометрией, хотя является динамической или физической геометрией.

В предыдущем предложении подчёркнуто слово аксиома. И подчёркнуто не случайно. Выше утверждается категорически, что русская механика не содержит аксиом. И вдруг автор от категоричности отказывается. Не отказываюсь, а только стремлюсь показать, что аксиомы подменяют сущность физических явлений их наблюдаемым эффектом. Так, например, наблюдается, что «отношение кубов больших полуосей орбит к квадратам времён обращения для всех планет Солнечной системы одинаково (третий закон Кеплера):

4π2R3/T2 = MG = const.

Правильнее:

Ѕ32 = const ,

где Ѕ – длина орбиты.

Из него следует, что const этой пропорции принадлежит только этим четырём свойствам, и совершенно непонятно какой механизм их связывает. И даже кажется, что произведение MG, хотя и имеет равный левой части уравнения результат, отображает только формальное равенство как взаимосвязь свойств через const, но никак не одинаковый механизм взаимодействия. Качественно R3/T2 – движение, а MG – неподвижность, поскольку закон оперирует только движением. А что делать, если эта const связывает бесчисленное множество свойств, как бы не имеющих прямого отношения к третьему закону Кеплера? Приведу некоторые из них:

const – R32 = R 2 v ω= v 2 g /ω2 = FG / g = FR 2 / M = v 4 τ … и т.д. 

Этот набор инвариантов (которые я назвал кеплеровскими), показывает взаимозависимости свойств, но ничего не говорит о механизме их взаимодействий. Похоже, механизм взаимодействий отображается через комбинации взаимозависимостей свойств, связанных с движением R, v , τ , ω и т.д. А третий закон Кеплера можно формализовать в виде:

R 32 = с onst .                                                (А)

Где τ = Т/2π – приведенное время, локальное время той области пространства, в котором космическое тело движется не по орбите, а падает на другое космическое тело.

Инвариант (А) в классической механике отсутствует так же, как и красивое уравнение-инвариант:

v 4 / τ = const ,                                                  (Б)

а из него следует, что скорость вертикального падения тела, например, камня с земной орбиты на Солнце происходит не с положительным ускорением, а с отрицательным. И если представить Солнце газовым шаром, то указанный камень за бесконечный промежуток времени не достигнет центра Солнца, поскольку изменяемая плотность пространства обусловливает замедление течения времени пропорционально кубу скорости. И, следовательно, два камня падающих из различных областей никогда не столкнутся в его центре. В этом физический смысл третьего закона Кеплера, именно он отображается в формулировке динамической аксиомы о параллельных.

Следует отметить, что для русской геометрии становится неприменимым евклидово понятие "прямая линия", поскольку последняя не проходит через две существую­щие точки. Вероятно, более подходит следующее опре­деление: Прямая линия — след точки движущейся к дру­гой точке по кратчайшему пути. Евклидово определение понятия "точка" можно временно сохра­нить до осмысливания и понятия «точки» и понятия «прямая».

Рассмотрим, к каким последствиям приводит эта ак­сиома.

Предположим, что из точки А к точке О движется тело-точка (рис. 8) и за прошедшее время она прошла расстояние АА, след-траектория ко-торо­го есть прямая ли­ния. Будем Рис. 8.                                 назы­вать ее прямой. Одновременно из точки А' к тому же центру О движется другое тело-точка. И эта точка прошла расстояние А'А'. Ее след-траектория тоже прямая линия или просто прямая, как и след всех последующих точек. Прямые АА и А'А', ос­тавленные движущимися точками, по геометрии Евкли­да не являются параллельными.

Но в динамической гео­метрии они параллельны, поскольку никогда не в состоянии достичь центра О и, следовательно, пере­сечься в одной точке. К тому же, в отличие от «прямых» Лобачевского и Римана, они действительно прямые. Определим, какие зависимости возникают между дви­жением этих прямых и элементами фигур, образуемых ими. Продолжим построение (рис. 9). Проведем допол­нительные прямые АА', А"А" , ... АnАn так, чтобы по длине они оставались равными между собой, а расстоя­ние между ними определялось отрезком, выходящим из некоторой точки k прямой АА до точки k', лежащей на прямой А'А' под углом Akk ' к прямой А′А' и равным ему углом А'kk' прямой АА

След следующей прямой проводим по тем же правилам из точки k' прямой А'А' к точке k " прямой А"А". И так до тех пор, пока отрезок, выходящий из точки kn прямой АпАn, не замкнет построение ломаной на прямой АА. Поскольку расстояние между прямыми одина­ково, а углы на пересе­чении каждого отрезкас прямой равны, замы­кающий отрезок попа­дет в ту же точку k прямой АА, из которой вышел отрезок kkn . Замкнутая ломаная kk ' k " ...кn образует равносто­ронний многоугольник. В результате получаем на плоскости «часто-кол» пря­мых, имеющих своим стремлением Рис. 9.              недостижимый в бесконечности, а потому фиктив- ный, центр О. Все пря­мые в своем движении к недостижимому центру парал­лельны и по определению и по структуре напряженно­сти на поверхности плоскости. А основная особенность образовавшегося правильного многоугольника ¾ дихо­томия конечного и бесконечного в том, что конечный периметр замыкает в себя площадь бесконечной вели­чины. Если теперь через центры отрезков, образующих стороны многоугольника kk′ k'k", k"k"',…, knk, провести новые прямые и соединить их отрезками по правилам, изложенным выше, то получим многоугольник с коли­чеством сторон, превышающем количество первого в два раза. При продолжении этой операции бесчисленное число раз длина отрезков kk ', k ' k ",..., k " k будетстремиться к минимуму, а углы Аkk', А'k'k′′ А′'k′'k′",... устремятся к π/2, и в пределе многоугольник kk′k′′ … kn долженпревратится в окружность на плоскости. Плоскость окружности одно­временно будет обладать свойствами евклидовой стати­ческой геометрии, и содержать в своих границах пло­щадь конечной величины, и свойствами неевклидовой геометрии и содержать в тех же границах площадь ве­личины бесконечной. Две несовместимые площади как бы налагаются друг на друга.

В полном соответствии с геометрией Евклида длина окружности S будет равна 2π радиан, а радиус, напро­тив, будет стремиться к бесконечности, никогда не дос­тигая центра О. Последний в данном случае, отсутству­ет. Прямая может исходить из какой-то точки окружности или входить в нее, но никогда не может пройти бесконечность. В то же время, по геометрии Евклида, центр у данной окружности S имеется, длина ра­диуса R конечна и определяется уравнением:

R = S /2π.

Получается, что одни и те же геометрические элемен­ты можно одновременно мерить и жесткими стержнями (геометрия Евклида) и динамическими. А это означает, что между геометрией статической и динамической имеется определен­ная взаимосвязь. Попробуем ее отыскать.

Отложим от точки k вправо и влево (см. рис.9) по от­резку kk 1 и kk 2 одинаковой длины в евклидовой мерно­сти и, используя предыдущее правило построения, про­ведем через них еще две окружности k 1 ' k 1 " k 1 ′"... k 1 n и k2′k2′′k2′′′… k2n. Естественно, что окружности k 1 и k 2 по от­ношению к окружности k будут описанной и вписанной. И это единственное, что общее, как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии.

Отличие же их начинается уже с того, что наружу от окружности обе геометрии допускают проведение бес­счетного числа окружностей на одинаковом расстоянии друг от друга, а внутри окружности k, по геометрии Евклида, число таких окружностей ограничено, для динамичёской же геометрии — снова не ограничено. Каж­дая окружность — эквипотенциальная линия относительно точки О. И длина ее (или окружность) равна бес­конечности одного ранга, т.е. они равны между собой. Это есть следствие аксиомы о динамических параллель­ных. Оно может быть сформулировано следующим об­разом:

Дуги-хорды kk', k 1 k 1 ′, пересекающие прямые АА и А'А' под одним углом и на некотором расстоянии друг от друга, имеют одинаковую длину.

Это следствие — теорема требующее доказательства. В настоящей работе она предлагается как аксиома. И на ее основе получается, что:

• В геометрии Евклида длина всех окружностей раз­лична, а в неевклидовой одинакова. Линия же окружно­сти является прямой.

• В геометрии Евклида линия окружности непрерыв­на, а в неевклидовой дискретна и состоит из бесчислен­ного множества одинаковых отрезков бесконечной дли­ны.

• В статической геометрии радиус окружности коне­чен, в динамической бесконечен.

• В статической геометрии взаимодействие между ра­диусом и окружностью отсутствует, в динамической на­личествует.

• Статическая геометрия радиусы и окружности не связывает со временем, в динамической такая связь имеется и т.д.

Таким образом, отсутствие одинаковых качеств у ок­ружностей двух геометрий лишает нас возможности оп­ределения взаимосвязи между ними по качественным признакам и вынуждает использовать свойства несоиз­меримых чисел (что вполне понятно, поскольку конеч­ное и бесконечное несоизмеримы по определению). Возьмем, например, два евклидовых круга одинакового радиуса r и площадью S. Сложим площади вместе так, чтобы образовался новый круг в два раза большей пло­щадью S ' и определим, насколько радиус R нового круга больше радиуса r маленького круга. Площадь большого круга S '= πR 2 , малого S = πr2:

π R 2 = 2r 2 π               R = r √2= 1,41421... r.

Число √2, по Дедекинду, и есть несоизмеримое ирра­циональное число, символ особого способа распределе­ния соизмеримых чисел [17]. В динамической геометрии, однако, это символ связности, а в данном случае — каче­ственный коэффициент, обусловливающий изменение пространства при движении в нем двух линий к отда­ленному центру. При коэффициенте связности, равном √2, две линии, движущиеся на плоскости к одному цен­тру, всегда параллельны, или, что то же самое, никогда не пересекаются на бесконечности. При устремлений 2→ 1 соизмеримость бесконечности меняется, и при достижении 1 динамическая геометрия переходит в статическую геометрию Евклида на плоскости.

Определим, чему равно несоизмеримое число, описы­вающее пространство. Используем метод построения окружности при образовании сферы. Для этого прове­дем множество одинаковых прямых АА, параллельных А′А′, направленных к единому центру, но не в плос­кости, а в объеме, и получим «ежик» прямых, устремленных в одну точку, на бесконечности. Пересечем их прямыми, исходящими из точки k1, по ранее описанному методу. В результате по­строения получаем сферический многогранник, Сходя­щийся при бесчисленном увеличении граней в правиль­ную сферу, имеющую конечную площадь поверхности, но бесконечную длину радиуса.

Имеется и более простой способ построения сферы путем вращения образовавшегося круга вокруг прямой, например, АА (Рис. 9.), становящейся осью вращения, а при повороте на минимальные градусы «втыкаются» прямые, направленные к центру. Но при этом создается иллюзия, что образовавшаяся сфера име­ет выделенную ось вращения, и ось эта — прямая, про­ходящая через центр сферы. В данной же сфере ни одна прямая, входящая в сферу и идущая к центру, до него не доходит и тем более его не проходит.

Любым из этих способов можно построить бесчис­ленное количество сфер как внутренних, так и внешних по отношению к базисной сфере k, объем каждой, из ко­торых будет конечен в евклидовой геометрии и беско­нечен в динамической. И если объем всех евклидовых сфер геометрически различен, то объем неевклидовых сфер физически равен друг другу, т.е. обладает тем же соотношением качеств, что и окружности.

Теперь, исходя из метричности евклидовых объемов сфер, определим величину коэффициента объемной связности (объемное число Дедекинда). Мысленно вы­членим внутри одной сферы V другую таким образом, чтобы объем вычлененной сферы V о и объем сферы V 1 между поверхностями двух сфер были равны: V = V о , тогда суммарный объем V равен:

V = 4/3π R 3 ; V 1 + V о = 2V = 8/3πR3.

Определим, насколько радиус внешней сферы R превы­шает радиус внутренней r , R 3 = 2r3.


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 35; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ