Справочный материал по элементарной теории погрешностей

При практических вычислениях обычно используют приближенные значения величин – приближенные числа.

Погрешность приближенного числа a, т.е. разность между ним и точным значением , как правило, неизвестна.

Под оценкой погрешности приближенного числа a понимают установление неравенства вида

(1.1)

Число называется абсолютной погрешностью (иногда употребляется термин «предельная абсолютная погрешность»). Это число определяется неоднозначно: его можно увеличить. Обычно указывают возможно меньшее число , удовлетворяющее неравенству (1.1).

Абсолютные погрешности записывают не более чем с двумя-тремя значащими цифрами (при подсчете числа значащих цифр не учитывают нулей, стоящих слева, например, в числе 0,010030 имеется 5 значащих цифр). В приближенном числе a не следует сохранять те разряды, которые подвергаются округлению в его абсолютной погрешности .

Относительной погрешностью приближенного числа a называется отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величине числа a, т.е. .

Относительная погрешность обычно выражается в процентах, и ее принято записывать не более чем с двумя-тремя значащими цифрами.

Во многих технических приложениях принято характеризовать точность приближенных чисел их относительной погрешностью.

Формулы точного подсчета погрешностей результатов действий над приближенными числами

;

, где – абсолютная погрешность приближенного числа, – относительная погрешность приближенного числа, – рациональное число.

Формулы погрешности вычисления значений функции от одной переменной

– абсолютная погрешность дифференцируемой функции , вычисленная в точке , .

– относительная погрешность дифференцируемой функции , вычисленная в точке .

Рассмотрим правила вычисления без строгого учета погрешностей

Правило 1. Если число слагаемых невелико, то в алгебраической сумме приближенных значений чисел, в записи которых все цифры верны, следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков. Слагаемые с большим числом десятичных знаков следует предварительно округлить на один десятичный знак больше, чем у выделенного слагаемого.

Правило 2. Если число исходных знаков невелико, то в произведении (частном) приближенных значений чисел следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством значащих цифр. Исходные данные с большим числом значащих цифр следует предварительно округлить, оставив на одну значащую цифру больше, чем у выделенного исходного данного.

Правило 3. При возведении приближенного значения числа в квадрат или куб, а также при извлечении квадратного корня или кубического корня в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет соответственно основание степени или подкоренное выражение.

Правило 4. При выполнении последовательно ряда действий над приближенными значениями чисел следует в промежуточных результатах сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. При округлении окончательного результата запасная цифра отбрасывается.

Рассмотрим примеры вычисления и определения погрешности выражения.

Пример 1.1. Вычислить значение выражения и определить его погрешность: