Лабораторная работа № 8. Численное интерполирование по интерполяционному многочлену Лагранжа. Схема Эйткена
Задания:
1) Функции 
задана таблицей (смотри варианты заданий). Составить по таблице интерполяционный многочлен Лагранжа. Вычислить значение функции в заданной точке 
. Оценить погрешность полученного результата.
2) Функции задана таблицей:
| 1, 00 | 1,08 | 1,20 | 1,27 | 1,31 | 1,38 |
| 1,17520 | 1,30254 | 1,50946 | 1,21730 | 1,22361 | 1,23470 |
Пользуясь интерполяционной схемой Эйткена, вычислить с точностью до 10-5 значение 
.
Варианты заданий к лабораторной работе № 8
№ 1
1) 
, 
|
| 6,0 | 6,5 | 7,0 | 7,5 |
| 1,792 | 1,8724 | 1,9646 | 2,015 |
2) 
.
№ 2
1) 
, х=3,2
|
| 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,5 |
|
| 20,086 | 33,115 | 54,598 | 90,017 |
2) 
.
№ 3
1) y = sin x, х=1,64
|
| 1,60 | 1,70 | 1,80 | 1,90 |
| 0,99957 | 0,99166 | 0,9738 | 0,9463 |
2) 
№ 4
1) y = cos x, х=1,15
|
| 1,00 | 1,10 | 1,20 | 1,30 |
|
| 0,5403 | 0,4536 | 0,36236 | 0,2675 |
2) 
№ 5.
1) y = ln x, х=3,2
|
| 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,5 |
|
| 1,099 | 1,253 | 1,386 | 1,504 |
2) 
№ 6.
1) y = 
, х=4,39
|
| 4,00 | 4,30 | 4,60 | 4,90 |
|
| 6,500 | 6,626 | 6,774 | 6,941 |
2) 
№ 7
1) y = cos x, х=0,12
|
| 0,10 | 0,30 | 0,50 | 0,70 |
|
| 0,99500 | 0,95534 | 0,87758 | 0,76484 |
2) 
№ 8
1) y = sin x, х=1,6
|
| 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,5 |
|
| 0,99745 | 0,9093 | 0,59847 | 0,14112 |
2) 
№ 9
1) y = lg x, х=7,2
|
| 7,0 | 7,5 | 8,0 | 8,5 |
|
| 0,8451 | 0,8751 | 0,9031 | 0,9294 |
2) 
№ 10
1) , 
|
| 8,0 | 8,5 | 9,0 | 9,5 |
|
| 2,079 | 2,140 | 2,197 | 2,251 |
2) 
№ 11
1) 
, 
|
| 8,1 | 8,5 | 8,9 | 9,3 |
|
| 0,908 | 0,929 | 0,949 | 0,968 |
2) 
№ 12
1) , х=1,4
|
| 1,2 | 1,6 | 2,0 | 2,4 |
|
| 3,320 | 4.953 | 7,389 | 11,023 |
2) 
№ 13
1) y = , х=1,4
|
| 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 |
|
| 10,100 | 8.167 | 7,000 | 6,500 |
2) 
|
|
|
№ 14
2) y = sin x, х=0,64
|
| 0,60 | 0,65 | 0,70 | 0,75 |
|
| 0,56464 | 0,60519 | 0,64422 | 0,68164 |
2) 
№ 15
3) y = sin x, х=1,04
|
| 1,00 | 1,05 | 1,10 | 1,15 |
|
| 0,84147 | 0,86742 | 0,89121 | 0,91276 |
2) 
№ 16
1) y = cos x, х=0,16
|
| 0,15 | 0,20 | 0,25 | 0,30 |
|
| 0,99877 | 0,98007 | 0,96891 | 0,95534 |
2) 
Лабораторная работа № 9. Первый и второй интерполяцион-ные многочлены Ньютона
Задания:
1) Пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона второй степени, найти значение функции f(x) для заданного х. Оценить погрешность полученного результата.
2) Пользуясь второй интерполяционной формулой Ньютона второй степени, найти значение функции f(x) для заданного х. Оценить погрешность полученного результата. Функция 
задана таблицей значений, которая представлена в вариантах заданий к лабораторной работе.
Варианты заданий к лабораторной работе № 9
№ 1
1) x=0,02; 2) x=0,31.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 0,00 | 0,2808 | 0,20 | 0,4131 | 0,40 | 0,5522 |
| 0,05 | 0,3127 | 0,25 | 0,4477 | 0,45 | 0,5868 |
| 0,10 | 0,3454 | 0,30 | 0,4825 | 0,50 | 0,6209 |
| 0,15 | 0,3790 | 0,35 | 0,5174 |
№ 2
1) x=0,03; 2) x=0,32.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 0,00 | 0,2808 | 0,20 | 0,4131 | 0,40 | 0,5522 |
| 0,05 | 0,3127 | 0,25 | 0,4477 | 0,45 | 0,5868 |
| 0,10 | 0,3454 | 0,30 | 0,4825 | 0,50 | 0,6209 |
| 0,15 | 0,3790 | 0,35 | 0,5174 |
|
|
|
№ 3
1) x=1,53; 2) x=1,82.
| x | f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,50 | 0,51183 | 1,70 | 0,4894 | 1,90 | 0,46678 |
| 1,55 | 0,50642 | 1,75 | 0,48376 | 1,95 | 0,4611 |
| 1,60 | 0,50064 | 1,80 | 0,47811 | 2,00 | 0,4554 |
| 1,65 | 0,49503 | 1,85 | 0,47245 |
№ 4
1) x=0,03; 2) x=0,34.
| x | f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 0,00 | 0,28081 | 0,20 | 0,41318 | 0,40 | 0,55226 |
| 0,05 | 0,31270 | 0,25 | 0,44771 | 0,45 | 0,58682 |
| 0,10 | 0,34549 | 0,30 | 0,48255 | 0,50 | 0,62096 |
| 0,15 | 0,37904 | 0,35 | 0,51745 |
№5
1) x=1,52; 2) x=1,81.
| X | f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,50 | 0,51183 | 1,70 | 0,4894 | 1,90 | 0,46678 |
| 1,55 | 0,50642 | 1,75 | 0,48376 | 1,95 | 0,4611 |
| 1,60 | 0,50064 | 1,80 | 0,47811 | 2,00 | 0,4554 |
| 1,65 | 0,49503 | 1,85 | 0,47245 |
№ 6
1) x=1,53; 2) x=1,82.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,00 | 0,5652 | 1,20 | 0,8861 | 1,40 | 1,3172 |
| 1,05 | 0,6375 | 1,25 | 0,9817 | 1,45 | 1,4482 |
| 1,10 | 0,7147 | 1,30 | 1,0848 | 1,50 | 1,5906 |
| 1,15 | 0,7973 | 1,35 | 1,1964 |
№ 7
1) x=1,03; 2) x=1,33.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,00 | 0,5652 | 1,20 | 0,8861 | 1,40 | 1,3172 |
| 1,05 | 0,6375 | 1,25 | 0,9817 | 1,45 | 1,4482 |
| 1,10 | 0,7147 | 1,30 | 1,0848 | 1,50 | 1,5906 |
| 1,15 | 0,7973 | 1,35 | 1,1964 |
№ 8
1) x=1,04; 2) x=1,63.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,00 | 0,5652 | 1,40 | 0,8861 | 1,80 | 1,3172 |
| 1,10 | 0,6375 | 1,50 | 0,9817 | 1,90 | 1,4482 |
| 1,20 | 0,7147 | 1,60 | 1,0848 | 2,00 | 1,5906 |
| 1,30 | 0,7973 | 1,70 | 1,1964 |
№ 9
1) x=0,04; 2) x=0,32.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 0,00 | 0,28081 | 0,20 | 0,41318 | 0,40 | 0,55226 |
| 0,05 | 0,3127 | 0,25 | 0,44771 | 0,45 | 0,58682 |
| 0,10 | 0,34549 | 0,30 | 0,48255 | 0,50 | 0,62096 |
| 0,15 | 0,37904 | 0,35 | 0,51745 |
№ 10
|
|
|
1) x=0,03; 2) x=0,32.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 0,00 | 0,3809 | 0,20 | 0,4532 | 0,40 | 0,5621 |
| 0,05 | 0,39120 | 0,25 | 0,4720 | 0,45 | 0,5832 |
| 0,10 | 0,4054 | 0,30 | 0,4856 | 0,50 | 0,6001 |
| 0,15 | 0,4290 | 0,35 | 0,5064 |
№ 11
1) x=0,03; 2) x=0,32.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 0,00 | 0,2404 | 0,20 | 0,4032 | 0,40 | 0,5124 |
| 0,05 | 0,3228 | 0,25 | 0,4523 | 0,45 | 0,5681 |
| 0,10 | 0,3654 | 0,30 | 0,4624 | 0,50 | 0,6009 |
| 0,15 | 0,3890 | 0,35 | 0,5004 |
№ 12
1) x=1,53; 2) x=1,82.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,50 | 0,51183 | 1,70 | 0,4894 | 1,90 | 0,46678 |
| 1,55 | 0,50642 | 1,75 | 0,48376 | 1,95 | 0,4611 |
| 1,60 | 0,50064 | 1,80 | 0,47811 | 2,00 | 0,4554 |
| 1,65 | 0,49503 | 1,85 | 0,47245 |
№ 13
1) x=1,0 3; 2) x=1,34.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,00 | 0,5652 | 1,20 | 0,8861 | 1,40 | 1,3172 |
| 1,05 | 0,6375 | 1,25 | 0,9817 | 1,45 | 1,4482 |
| 1,10 | 0,7147 | 1,30 | 1,0848 | 1,50 | 1,5906 |
| 1,15 | 0,7973 | 1,35 | 1,1964 |
№ 14
1) x=1,03; 2) x=1,32.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,00 | 0,5604 | 1,20 | 0,7851 | 1,40 | 1,2142 |
| 1,05 | 0,5752 | 1,25 | 0,8617 | 1,45 | 1,3442 |
| 1,10 | 0,6148 | 1,30 | 0,9848 | 1,50 | 1,4905 |
| 1,15 | 0,7072 | 1,35 | 1,0964 |
№ 15
1) x=1,05; 2) x=1,64.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,00 | 0,5054 | 1,40 | 0,8062 | 1,80 | 1,2174 |
| 1,10 | 0,6073 | 1,50 | 0,9516 | 1,90 | 1,4362 |
| 1,20 | 0,7121 | 1,60 | 1,0246 | 2,00 | 1,5804 |
| 1,30 | 0,7874 | 1,70 | 1,1458 |
№ 16
|
|
|
1) x=1,52; 2) x=1,81.
|
| f(x) | х | f(x) | х | f(x) |
| 1,50 | 0,51183 | 1,70 | 0,4894 | 1,90 | 0,46678 |
| 1,55 | 0,50642 | 1,75 | 0,48376 | 1,95 | 0,4611 |
| 1,60 | 0,50064 | 1,80 | 0,47811 | 2,00 | 0,4554 |
| 1,65 | 0,49503 | 1,85 | 0,47245 |
Лабораторная работа № 10. Интерполяция сплайнами
Задания:
1. Составить сплайн, заданный интерполяционной таблицей.
2. Проверить практическое совпадение значений «соседних» выражений сплайна в узловых точках, а также совпадение их со значениями функции в узлах интерполяции.
Варианты заданий к лабораторной работе № 10
№ 1 № 2
| x | 2 | 5 | 6 | 8 | x | -1 | 0 | 2 | 4 | ||
| f(x) | 1 | 3 | 5 | 6 | f(x) | 0 | 1 | 3 | 4 |
№ 3 № 4
| x | -4 | -2 | 1 | 2 | x | -3 | -1 | 0 | 2 | ||
| f(x) | -2 | -1 | 0 | 2 | f(x) | -1 | 1 | 2 | 3 |
№ 5 № 6
| x | -5 | -4 | 0 | 1 | x | -2 | 0 | 2 | 3 | ||
| f(x) | 1 | 3 | 4 | 6 | f(x) | -1 | 0 | 2 | 3 |
№ 7 № 8
| x | 0 | 1 | 3 | 5 | x | 1 | 3 | 4 | 5 | ||
| f(x) | 2 | 6 | 8 | 9 | f(x) | 2 | -1 | 3 | 4 |
№ 9 № 10
| x | 1 | 2 | 5 | 6 | x | -1 | 2 | 3 | 6 | ||
| f(x) | -2 | 3 | -1 | 4 | f(x) | 2 | -3 | 4 | -1 |
№ 11 № 12
| x | 2 | 4 | 5 | 6 | x | 1 | 2 | 4 | 8 | ||
| f(x) | -4 | 2 | 0 | -1 | f(x) | 4 | -3 | 5 | -1 |
№ 13 № 14
| x | -1 | 0 | 4 | 8 | x | 0 | 3 | 4 | 5 | ||
| f(x) | 3 | -2 | 5 | -1 | f(x) | 4 | -2 | 3 | -2 |
№ 15 № 16
| x | -1 | -2 | 0 | 1 | x | -3 | -2 | -1 | 2 | ||
| f(x) | 2 | -1 | 4 | -2 | f(x) | 2 | -2 | 3 | -1 |
Глава 5. Численное дифференцирование
Справочные материалы по численному дифференцированию
Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа
Пусть f(x) – функция, для которой нужно найти производную в заданной точке отрезка [a, b], Fn(x) – интерполяционный многочлен для f(x), построенный на [a, b].
, где Rn(x) – погрешность интерполяции.
– погрешность производной.
, где
.
Пользуясь выражением для остаточного члена интерполяционной формулы, можно получить:
. (5.1)
В узлах интерполяции формула (5.1) примет вид:
.
Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона
(5.2)
Таким же образом можно вычислить и производные любого порядка. Формула (5.2) существенно упрощается, если х совпадает с узлом интерполирования. В этом случае каждый узел можно считать начальным: х = х0, t = 0.
.
Оценка погрешности:
.
В случае оценки погрешности в узле таблицы (х=х0, t=0) будем иметь:
.
Для оценки 
при малых h используют формулу: 
.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 864; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!