Вычисление обратной матрицы для системы линейных уравнений
Пусть дана невырожденная матрица 
, где (i, j = 1, 2,…, n). Для нахождения элементов обратной матрицы 
, где (i, j = 1, 2,… n) воспользуемся основным соотношением:
А×А-1 =Е, где Е – единичная матрица.
Перемножая матрицы А и А-1 и используя равенство их матрице Е, получим п систем линейных уравнений вида:
(i = 1, 2, …, n; j – фиксировано), где 
.
Полученные п систем линейных уравнений имеют одну и ту же матрицу А и различные столбцы свободных членов. Эти системы можно решать методом Гаусса (см. п. 3.1.1). В результате решения систем получаем единичную матрицу A.
Метод простой итерации для систем линейных уравнений
Метод простой итерации даёт возможность получить последовательность приближённых значений, сходящуюся к точному решению системы.
Преобразуем систему (3.1) к нормальному виду:
. (3.2)
Правая часть системы (3.2) определяет отображение:
, преобразующее точку 
-мерного метрического пространства в точку 
того же пространства.
Выбрав начальную точку 
, можно построить итерационную последовательность точек п - мерного пространства: 
При определённых условиях данная последовательность сходится.
Так, для исследования сходимости таких последовательностей используется принцип сжимающих отображений, который состоит в следующем.
Если F – сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве с метрикой 
, то существует единственная неподвижная точка 
, такая, что 
. При этом итерационная последовательность, 
, полученная с помощью отображения F с любым начальным членом х(0), сходится к .
|
|
|
Оценка расстояния между неподвижной точкой отображения F и приближением х(к) даётся формулами:
(3.3)
где α – множитель, определяемый достаточными условиями сжимаемости отображения F.
Значение множителя α, определяется выбором метрики, в которой проверяется сходимость последовательности значений 
.
Рассмотрим Достаточные условия сходимости итерационной последовательности .
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно "погрузить" в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой 
: 
, т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой 
: 
, т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой 
: 
, т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы
|
|
|
Пример 3.1. Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать 
.
Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:
Последовательные приближения будем искать по формулам:
Получаем:
, 
.
Для оценки погрешности в метрике вычисляем коэффициент
.
Вычисляем погрешность: 
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 408; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!