Решение первой контрольной работы
1. Дымовая шашка падает с высоты H без начальной скорости. С течением времени высота, на которой оказывается шашка, изменяется по квадратичному закону:
На заданной высоте h шашка будет находиться в момент времени
На землю она упадет в момент времени, равный
|
Дым, исходящий от шашки, сносится ветром, скорость которого V не зависит от высоты. На высоте h дым сносится ветром до момента падения шашки на землю в течение промежутка времени
За этот промежуток времени дым на высоте h будет снесен ветром на расстояние
2. На колечко действуют по вертикали сила тяжести mg и сила со стороны обруча N, направленная по радиусу. Под их действием колечко движется вдоль изогнутого прута, имея тангенциальное и нормальное ускорения. Согласно 2-му закону Ньютона имеем
где 
ускорение колечка, 
равнодействующая сила, действующая на него. Запишем проекцию этого уравнения на касательную к пруту:
откуда найдем тангенциальное ускорение:
|
Нормальное ускорение вычисляется по формуле
где v – величина скорости колечка, R – радиус кривизны траектории колечка (в данном случае радиус окружности).
Величину скорости определим из закона сохранения энергии. Согласно этому закону изменение кинетической энергии колечка равно убыли его потенциальной энергии. С учетом того, что начальная скорость колечка равна нулю, имеем
Из прямоугольного треугольника
В результате найдем, что нормальное ускорение равно
|
|
|
3. По закону сохранения импульса имеем
Здесь 
скорость системы после попадания пули в брусок.
|
По условию модуль импульса бруска после попадания пули не изменился и остался таким же, каким был до попадания в него пули:
Возведем левую и правую части равенства в квадрат:
Скалярное произведение векторов скорости равно
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, находим:
4. Разобьем решение задачи на два этапа. На первом этапе рассмотрим падение шарика.
|
Пусть шарик опустился по вертикали на расстояние x. Согласно закону сохранения энергии имеем
Шарик движется по окружности радиуса l. Следовательно, наряду с тангенциальным ускорением шарик имеет центростремительное (нормальное) ускорение, равное 
По 2-му закону Ньютона в проекции на нить имеем
откуда, исключая скорость шарика, находим силу натяжения нити:
Из прямоугольного треугольника
Таким образом, на этапе падения шарика сила натяжения нити изменяется с расстоянием x по линейному закону:
Из полученной формулы следует, что если пороговое значение силы натяжения нити удовлетворяет неравенству
то разрыв нити произойдет при падении шарика.
|
|
|
Рассмотрим случай, когда пороговое значение силы натяжения нити удовлетворяет неравенству
|
В этом случае шарик при падении достигнет самого низкого положения (нить при этом займет вертикальное положение). В дальнейшем начнется вращение шарика вокруг гвоздя. Радиус соответствующей окружности меньше, чем первоначальный радиус. В результате сила натяжения нити резко возрастет, и становится возможным обрыв нити. Максимальное натяжение нити достигается в самом начале этого вращения, когда нить занимает вертикальное положение. Это связано с тем, что скорость шарика в этот момент максимальна. Записываем закон сохранения энергии при вертикальном положении нити:
Соответственно 2-й закон Ньютона имеет вид
Исключаем скорость шарика, получаем минимальное расстояние h между гвоздем и точкой подвеса, при котором происходит разрыв нити:
5. Силы, действующие на кубик и цилиндр, показаны на рисунке. Под действием этих сил рассматриваемая система тел движется поступательно с некоторым ускорением. Согласно 2-му закону Ньютона движение тел описывается следующими уравнениями в проекции на горизонтальное направление:
В вертикальном направлении движения нет. Поэтому сумма проекций на вертикальное направление всех сил на каждое из тел равна нулю:
|
|
|
Наконец, поскольку цилиндр не вращается, то момент сил, действующих на цилиндр, относительно его оси равен нулю:
|
Величина сил трения определяется нормальной силой взаимодействия тел и коэффициентом трения:
Первые два равенства выполняются, так как и цилиндр, и кубик скользят по горизонтальной поверхности. Неравенство выполняется, так как скольжение соприкасающихся поверхностей цилиндра и кубика друг относительно друга отсутствует.
Из соотношений 5, 7 и 8 следует, что
N ≥ N 2.
Тогда из соотношений 2 и 7 получаем
Из соотношений 4, 5 и 7 следует равенство
Сравнивая полученные неравенство и равенство, устанавливаем, что ускорение системы «цилиндр+кубик» должно быть не меньше ускорения свободного падения:
Складывая соотношения 1 и 2 и отдельно соотношения 3 и 4, находим:
Исключая из этих уравнений сумму нормальных сил 
, получим
Так как ускорение тел больше ускорения свободного падения, получаем минимальное значение толкающей силы:
При решении задачи предполагалось, что кубик лежит на горизонтальной поверхности всей своей нижней гранью. Однако возможен отрыв его нижней левой точки (точки A) от поверхности, соответственно подъем точки соприкосновения кубика с цилиндром, поворот кубика вокруг точки B и изменение наклона его граней. При этом сила реакции опоры оказывается приложенной к кубику в точке B. Перемещение точки приложения равнодействующей нормальной силы реакции опоры кубика из точки, лежащей посередине между точками A и B (при отсутствии движения), к точке B (при отрыве точки A) зависит от величины коэффициента трения. Рассмотрим уравнение моментов для кубика:
|
|
|
Здесь x – расстояние от середины нижней грани кубика до точки приложения равнодействующей нормальной силы реакции опоры, 2 R – размер граней. Использование соотношений 5–7 дает равенство
Выше были получены два соотношения:
Из трех последних соотношений находим координату точки приложения равнодействующей нормальной силы реакции опоры кубика:
Значение этой координаты должно удовлетворять неравенству
Из левого неравенства следует, что μ < 1/2. Однако правое неравенство дает более сильное ограничение на величину коэффициента трения:
Таким образом, полученное выше решение задачи справедливо при значениях коэффициента трения, удовлетворяющих неравенству
Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 30; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!