Решение второй контрольной работы

1. Вращательное движение обруча описывается угловой координатой φ в плоскости обруча. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента:

Момент инерции I тонкого обруча массой m равен

Обруч останавливается под действием сил трения. Момент M этих сил равен

Подставляя выражения для момента инерции I и момента сил M в исходное уравнение, получим после сокращения левой и правой его части на величину массы обруча следующее дифференциальное уравнение второго порядка дляугловой координаты φ:

Для его решения имеем начальное условие:

Кроме того, положим начальное значение угловой координаты равным нулю: φ = 0 при t = 0.

Интегрируя уравнение один раз, получим с использованием начального условия зависимость угловой скорости обруча от времени:

Отсюда находим время до остановки обруча:

Интегрируя второй раз, найдем с использованием начального значения угловой координаты ее зависимость от времени:

Если угол φ разделить на 2 π, получим зависимость от времени числа оборотов обруча:

Подставив сюда время до остановки обруча, найдем полное число его оборотов:

2. Вращательное движение системы будем описывать угловой координатой φ в плоскости квадрата, отсчитываемой от вертикали. Для решения задачи используем закон сохранения момента:

Момент инерции I системы относительно точки ее подвеса равен

Момент сил тяжести M относительно точки подвеса при отклонении системы материальных точек от вертикали на угол φ равен

При малых колебаниях значения угла φ малы: Поэтому

Подстановка выражений для момента инерции I и момента сил M в исходное уравнение дает

После деления на коэффициент при производной уравнение принимает вид

Это уравнение гармонических колебаний. Величина коэффициента в правой части уравнения дает квадрат частоты этих колебаний. Таким образом, имеем

3. Будем рассматривать движение системы тел как движение ее центра масс и вращение вокруг центра. Введем на гладкой плоскости декартовую систему координат, как показано на рисунке.

Пусть x, y – координаты центра масс системы. Тогда соответствующие компоненты скорости. Согласно закону сохранения импульса имеем:

откуда находим компоненты скорости центра масс системы после прилипания шариков к стержню:

Угловую скорость вращения системы найдем, пользуясь законом сохранения момента импульса:

где момент инерции системы относительно центра масс равен

(Центр масс системы находится на середине стержня.)

В результате скорость вращательного движения системы равна

Энергия, выделяющаяся в виде теплоты, когда шарики прилипают к стержню, равна убыли кинетической энергии системы:

До прилипания шариков кинетической энергией обладали только сами шарики. Их суммарная энергия равна

После прилипания шариков система обладает кинетической энергией поступательного движения центра масс и энергией вращательного движения вокруг центра масс:

Вычисляем тепловые потери:

4. Колебания маятников будем описывать с помощью угловых координат: маятника 1 – с помощью угла φ ₁, маятника 2 – с помощью угла φ ₂.

Запишем уравнения моментов для маятников:

Угловые координаты связаны с изменением длины пружины соотношением

Исключая величину x, получим для угловых координат систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

По общим правилам решения таких уравнений ищем две неизвестные функции φ_k (t) в виде

где A_k – некоторые, пока неопределенные постоянные. Подставляя эти функции в систему, получаем после сокращении на экспоненциальный множитель систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные A_k:

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель:

Это характеристическое уравнение. Его корни определяют собственные частоты системы ω ₁ и ω ₂:

Общее решение исходной системы есть суперпозиция нормальных колебаний с собственными частотами системы ω ₁ и ω ₂:

Постоянные A_ks можно найти, если заданы начальные значения угловых координат и их первых производных (угловых скоростей). Слагаемые с определенным значением частоты соответствуют нормальным колебаниям.

Здесь применен общий способ решения исходной системы дифференциальных уравнений. Однако, учитывая вид этих уравнений, легко получить собственные частоты системы и найти нормальные колебания следующим образом. Сложим уравнения почленно и вычтем их друг из друга. Система уравнений примет вид нормальных колебаний:

Коэффициенты в правой части дают квадраты полученных выше собственных частот системы. Соответствующие им решения (нормальные колебания) имеют вид

Амплитуды B_m и начальные фазы α_m можно найти, если заданы начальные значения угловых координат и их первых производных (угловых скоростей). Величины B_m и α_m выражаются через A_ks.

5. Колебательное движение чашки с грузом описывается согласно 2-му закону Ньютона дифференциальным уравнением 2-го порядка:

где x – сжатие пружины.

До падения на чашу груза пружина была сжата под действием веса самой чаши:

так что пружина при t = 0 имеет начальное сжатие, равное

Это одно начальное условие для решения уравнения движения.

Другое условие получим, воспользовавшись законами сохранения энергии и импульса. На высоте H груз обладает потенциальной энергией. При падении груза эта энергия будет переходить в кинетическую энергию. Согласно закону сохранения энергии имеем

откуда находим скорость груза непосредственно перед попаданием на чашу:

Из закона сохранения импульса найдем начальную скорость чаши с грузом:

Это второе начальное условие для решения уравнения движения.

Приведенное выше уравнение движения – линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения:

Частное решение находится из условия отсутствия колебаний:

Общее решение однородного уравнения имеет вид

где ω – частота гармонических колебаний груза на весах. Она равна

В результате общее решение принимает вид

Подстановка первого начального условия дает величину A:

Подстановка второго начального условия позволяет найти величину B:

Таким образом, окончательный вид решения следующий:

Амплитуда колебаний определяется коэффициентами A и B:

Подстановка выражений для этих коэффициентов дает амплитуду колебаний груза:

Экзамен

1. (120 б.) Скорость частицы меняется во времени t по закону

где τ – известная положительная величина, – постоянный вектор. В момент времени t = 0 частица находилась в начале координат. В какие моменты времени она будет находиться на расстоянии S от начала координат?

2. (150 б.) Клин с углом наклона 45º к горизонту находится на гладкой горизонтальной плоскости. С него без трения соскальзывает брусок с массой, равной массе клина. Найти ускорение клина.

3. (180 б.) На доске лежит брусок массой m. Один конец доски шарнирно закреплен на полу, другой конец поднимают. Найти зависимость от угла α между доской и полом силы трения, действующей на брусок. Нарисовать график этой зависимости. Коэффициент трения бруска о доску равен μ.

4. (200 б.) Частица массы m налетает со скоростью v ₁ на покоящуюся частицу и после абсолютно упругого удара отлетает со скоростью v ₂ перпендикулярно к направлению своего первоначального движения. Найти массу частицы.

5. (220 б.) Два одинаковых шероховатых цилиндра раскрутили вокруг их осей до угловых скоростей ω ₁ и ω ₂ и привели в соприкосновение боковыми поверхностями. Оси цилиндров параллельны. Найти установившиеся спустя достаточно продолжительное время угловые скорости вращения цилиндров.

6. (230 б.) На гладкой горизонтальной плоскости лежат два одинаковых соединенных пружиной бруска. Длина пружины в недеформированном состоянии равна l. Левый брусок упирается в стенку. Правый брусок прижимают так, что пружина укорачивается вдвое, и отпускают. Найти максимальную и минимальную длины пружины, которые достигаются при свободном движении системы.

Примечание. В задачах 2 и 3 предполагается наличие однородного поля тяжести с ускорением свободного падения g.

---

Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 81; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!