Векторное произведение. Вращательное движение.

Тензор инерции

Вопросы к коллоквиуму

1. Момент инерции (определение). Теорема Гюйгенса – Штейнера.

2. Уравнение моментов при вращении твердого тела в общем виде. Уравнение моментов и кинетическая энергия при вращении твердого тела вокруг оси.

3. Связь момента импульса и угловой скорости твердого тела при произвольном вращении. Пояснить геометрический смысл тензора инерции.

4. Тензор инерции (определение). Главные оси, главные значения. Главные моменты инерции. Связь главных моментов инерции плоского твердого тела. Свободные оси твердого тела.

Разобрать задачи с решениями по: [4], гл. 3, № 2, 3, 5.

Задачи

5.1. Векторы и составляют угол 45^o, Найти площадь треугольника, построенного на векторах и

5.2. Задан треугольник ABC с вершинами в точках A = (1, –2, 8), B = (0, 0, 4), C = (6, 2, 0). Вычислить его площадь и высоту BD.

5.3. Показать, что

5.4. Доказать, что

5.5. На ступенчатый цилиндрический блок, радиусы частей которого равны R ₁ и R ₂, а момент инерции – I, намотаны в противоположных направлениях две легкие нити. К концам нитей прикреплены грузы m ₁ и m ₂. Найти ускорения грузов и натяжение нитей.

5.6. Нерастяжимая, невесомая нить намотана на сплошной цилиндр радиуса R, массы m. К переброшенному через невесомый блок концу нити прикреплен груз массы M. Чему равно ускорение груза, если цилиндр катится без проскальзывания?

5.7. Обруч радиуса R может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку A перпендикулярно его плоскости. Обруч подняли так, что диаметрально противоположная точка B заняла наивысшее положение, и отпустили без толчка. Найти скорость точки B в момент прохождения ею крайнего нижнего положения.

5.8. Веревка массы m и длины l лежит на горизонтальном столе. Ее конец перекинут через блок, представляющий собой сплошной цилиндр массы m ₁, радиуса R (R << l), и прикреплен к грузу массы M. В начальный момент груз подтянут вплотную к блоку. Коэффициент трения веревки о стол равен m. Веревка вращает блок без проскальзывания. Определить скорость веревки в момент соскальзывания ее свободного конца со стола.

5.9. Однородная тонкая квадратная пластина массы m, способная свободно вращаться вокруг оси y, являющейся осью симметрии фигуры, первоначально располагалась в состоянии покоя в плоскости xy. В точки A и B на пластине одновременно попали и прилипли два одинаковых пластилиновых шарика массы m каждый, летевших со скоростями и Какая энергия перешла в тепло при соударении?

5.10. Три одинаковых, закрепленных на жестком невесомом стержне пластилиновых шарика массы m каждый, двигаясь со скоростью V по гладкой плоскости, столкнулись и прилипли к такой же покоившейся системе. Найти выделившееся тепло. Трение о плоскость пренебрежимо мало.

5.11. Определить тензор инерции метильного радикала в системе координат, показанной на рисунке. Найти главные моменты инерции. Все атомы лежат в плоскости xy. Длины C–H-связей равны d. Одна из них составляет угол a с осью x.

5.12. Тонкий диск радиуса R и массы m жестко скреплен с осью так, что угол между ней и плоскостью диска равен f. Диск вращается вокруг этой оси с угловой скоростью w. Найти модуль вектора момента импульса диска. Какой угол составляет вектор момента импульса с осью вращения?

Срок для выполнения задания – 3 недели.

Задание 6

Колебания

Вопросы к коллоквиуму

1. Уравнение движения гармонического осциллятора. Решение уравнения движения гармонического осциллятора. Изображение решения на комплексной плоскости.

2. Потенциальная энергия осциллятора. Нахождение частоты колебаний из энергетических соображений. Малые колебания. Колебания двухатомной молекулы. Приведенная масса в задаче о двухатомной молекуле.

3. Затухающие колебания. Анализ решения уравнения движения затухающего осциллятора. Декремент затухания, добротность.

4. Вынужденные колебания. Анализ решения уравнения движения осциллятора с внешним гармоническим воздействием. Резонанс. Амплитуда и фаза стационарного колебания как функция частоты воздействия.

Разобрать задачи с решениями по: [4], гл. 5, № 3, 5, 6.

Задачи

6.1. Точка движется вдоль оси x по закону x = 2 cos(w t – p/6). Построить графики: а) смещения, скорости и ускорения точки как функций времени t; б) скорости и ускорения как функций смещения x.

6.2. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если известно, что на расстояниях x ₁ и x ₂ от положения равновесия ее скорость равнялась v ₁ и v ₂ соответственно.

6.3. Потенциальная энергия частицы в поле имеет вид U (r) = ar^– ² – br ^–1 (константы a и b положительны). Нарисовать графики U (r) и силы F (r). Найти положение равновесия частицы r ₀. Проверить, устойчиво ли равновесие в этой точке. Найти максимальное значение силы притяжения.

6.4. Определить частоту малых колебаний частицы массы m в поле:

a) потенциала Морзе:

U (x) = U ₀ [e^–2 ^a^x – 2e ^a^x ];

б) потенциала Леннарда – Джонса:

6.5. Найти частоту малых колебаний однородного стержня длины l массы m. Один конец стержня закреплен на горизонтальной оси, вокруг которой он может свободно вращаться, а второй удерживается пружиной жесткости k. Равновесное положение стержня – горизонтальное.

6.6. Найти период малых колебаний однородного диска массы M радиуса R, совершаемых под действием двух пружин жесткости k. Ось вращения диска проходит через его центр.

6.7. На невесомой пружине жесткости 20 Н/м подвешен шарик весом в 50 г. На него действует вертикально направленная гармоническая сила с частотой 25 с^–1. При установившихся колебаниях смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на 3p/4. Найти добротность осциллятора.

6.8. К грузу массы m прикреплены две пружины, коэффициенты жесткости которых равны k ₁ и k ₂. Конец первой пружины неподвижен, а конец второй движется по закону x = A cos(w t), где Найти амплитуду вынужденных колебаний груза. Трение очень мало.

6.9. Атому покоившейся двухатомной молекулы мгновенно сообщили направленный вдоль связи импульс P. Найти частоту и амплитуду малых колебаний молекулы. Масса каждого из атомов равна m, жесткость связи атомов – k.

6.10. Две бусины массы m каждая могут двигаться без трения по горизонтальным параллельным стержням, расположенным на расстоянии l один от другого. На стержни надеты и прикреплены к бусинам одинаковые пружины жесткости k. Между собой бусины соединены третьей пружиной, натянутой с силой F. Пренебрегая изменением F при малых смещениях бусин из положений равновесия, найти частоты и вид нормальных колебаний такой системы.

Срок для выполнения задания – 3 недели.

Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 120; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!