Граничные условия в задаче о поперечном растяжении
В задаче о поперечном растяжении ячейка периодичности находится в плоском деформированном состоянии:
(2.6.1)
При помощи обобщенного закона Гука компонент тензора напряжений 
выражается через 
. Следовательно, в дальнейшем выясняется инвариантность относительно преобразований Ri только компонентов: 
; 
.
2.6.1. Анализ кинематических граничных условий Хашина – Розена. Граничные условия имеют вид:
(2.6.2)
;
;
Отражения R 1, R 2 преобразуют ячейку периодичности, находящуюся под влиянием внешнего воздействия (2.6.2), в саму себя. Используя таблицы инвариантности 2.3 и 2.2, выписываем результаты применения преобразований R 1, R 2:
– V 1: неинвариантность компонента u 1 вектора перемещения u не противоречит кинематической совместности, так как
– плоскости сопряжения остаются плоскостями в деформированной ячейке периодичности (поворот плоскостей исключен в силу принципа суперпозиции Кюри);
– V 2: неинвариантность компонента u 2 не противоречит кинематической совместности, так как из граничных условий следует:
Компоненты u 1, u 2 обладают свойствами четности (обозначается знаком “+”) и нечетности (обозначается знаком “– “):
– нечетность по x 1, четность по x 2;
– нечетность по x 1, четность по x 2;
– t 12: касательное напряжение 
терпит разрыв при переходе через поверхность сопряжения, так как для гетерогенной ячейки периодичности не является нулевым:
|
|
|
Вывод:
кинематические граничные условия Хашина – Розена не удовлетворяют условию статической совместности деформированных ячеек периодичности.
2.6.2. Анализ статических граничных условий Хашина – Розена. Граничные условия имеют вид
(2.6.3) 
;
;
Результаты применения преобразований R 1, R 2:
– V 1, – V 2: неинвариантность компонентов u 1 и u 2 относительно отражений R 1, R 2 противоречит условиям кинематической совместности, так как
– плоскости сопряжения гетерогенной ячейки периодичности не остаются плоскостями после деформирования;
– t 12: неинвариантность касательного напряжения относительно отражений R 1, R 2 не противоречит условию статической совместности, так как из граничных условий следует: 
Вывод:
статические граничные условия Хашина – Розена не удовлетворяют условию кинематической совместности деформированных ячеек периодичности.
2.6.3. Синтез кинематико-статических граничных условий. При помощи алгоритма 2.5.3 сформируем граничные условия в задаче о поперечном растяжении ячейки периодичности, которые удовлетворяют условиям кинематической и статической совместности деформированных ячеек периодичности.
1. Результаты применения отражений R 1, R 2:
|
|
|
Свойства четности-нечетности компонентов u 1, u 2:
2. На плоскостях сопряжения задаем нормальные компоненты вектора перемещения u, которые являются неинвариантными относительно преобразований R 1, R 2:
3. Полагаем равными нулю касательные напряжения:
Нормальные напряжения инвариантны относительно отражений R 1, R 2 и обладают свойствами двоякой четности:
Вывод:
граничные условия в задаче о поперечном растяжении ячейки периодичности, удовлетворяющие условиям кинематической и статической совместности деформированных ячеек периодичности имеют вид:
;
;
– кинематико-статические граничные условия.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!