Тригонометрический круг. Понятие синуса и косинуса числа

⇐ ПредыдущаяСтр 34 из 41Следующая ⇒

На координатной плоскости построим окружность единичного радиуса с центром в точке О (0,0). Такую окружность будем называть единичной.

Для произвольно взятого действительного числа a построим угол, радианная мера которого равна a. Для этого от точки А (1,0) по окружности отложим дугу АМ, длина которой равна |a| единиц. Если , то откладывать будем против часовой стрелки; если – то по часовой стрелке. Центральный угол , опирающийся на дугу АМ, имеет величину a.

Координаты х ₀ и у ₀ точки М на единичной окружности называются соответственно косинусом и синусом числа a.

С помощью тригонометрического круга доказываются формулы приведения, другие тригонометрические тождества. Так, например, основное тригонометрическое тожество немедленно следует из определений синуса, косинуса и уравнения окружности: .

§ 20. Функция и ее свойства

Определение. Функция, которая каждому действительному числу ставит в соответствие его синус, называется синусом и обозначается .

1.Область определения. D_f= R, поскольку значение определено для любого действительного числа a.

2. Множество значений. Поскольку ординаты точек единичной окружности по модулю не превосходят единицы, то для любого . С другой стороны, любая горизонтальная прямая , пересекает единичную окружность хотя бы в одной точке, поэтому любое число b Î[–1, 1]является значением синуса некоторого угла. Следовательно, .

Периодичность.

Предложение. Функция является периодической с основным периодом .

Доказательство. Поскольку длина единичной окружности равна 2p, то числам a и a+2p соответствует одна и та же точка М на единичной окружности. Поэтому и число 2p является периодом функции . Докажем, что это основной период, т. е. никакое положительное число меньшее 2p периодом функции синус не является. Пусть . Сравним значения функции синус в точках и . Углу соответствует точка (0,1) на единичной окружности, т.е. . Так как Т меньше длины единичной окружности, то углу соответствует точка единичной окружности, расположенная ниже точки (0,1). Значит, . Таким образом, . Это показывает, что число Т, , не является периодом функции .

Предложение доказано.

4.Нули функции, промежутки знакопостоянства. Рассмотрим уравнение . Прямая у= 0 пересекает единичную окружность в точках (–1,0) и (1,0), которым соответствуют углы 0 и p. Учитывая периодичность функции синус, получаем:

Поскольку все точки единичной окружности, расположенные в I и II координатных четвертях, имеют положительные ординаты, а точки, расположенные в III и IV четвертях, отрицательные ординаты, то

5.Четность, нечетность.

Предложение. Функция является нечетной.

Доказательство. Углам a и –a соответствуют симметричные относительно оси ОХ точки на единичной окружности. Поэтому их ординаты равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. для любого .

6.Непрерывность.

Лемма. Неравенство справедливо для любого .

Доказательство. Заметим, что при получаем равенство .

Пусть (см. рис.). Поскольку длина дуги больше длины хорды, на которую она опирается, то и их половины находятся в таком же отношении: . Так как и , то . Если , то это неравенство выполняется очевидным образом, поскольку .

Пусть . Тогда и по доказанному выше . Воспользовавшись свойством нечетности функции синус, получаем .

Таким образом, неравенство выполняется для любого действительного a.

Предложение. Функция непрерывна на R.

Доказательство. Пусть х ₀ – произвольная точка числовой прямой. Воспользуемся определением непрерывности функции в точке на языке приращений. Придадим аргументу ненулевое приращение D х. Тогда функция получит приращение

Пользуясь леммой и ограниченностью косинуса, получаем:

Из неравенства и теоремы о пределе промежуточной функции имеем . Следовательно, функция непрерывна в точке х ₀. Так как х ₀ – произвольная точка числовой прямой, то функция непрерывна на R.

Следовательно, f – нечетная функция.

7.Монотонность.

Предложение. Функция

1) строго возрастает на промежутках ,

2) строго убывает на промежутках .

Доказательство. Опираясь на свойство периодичности синуса, достаточно доказать, что функция строго возрастает на и строго убывает на . Докажем ее возрастание на . Возьмем произвольные точки и , такие что . Покажем, что разность значений функции в этих точках положительна. Из неравенств , и получаем и . Полученным значениям аргументов соответствуют точки единичной окружности, расположенные в I координатной четверти. Поэтому и , следовательно, . Тем самым доказано, что функция строго возрастает на .

Докажем, что функция убывает на отрезке . Для произвольных точек и в этом случае из неравенств , и следует и . Тогда и , следовательно, . Получили . Тем самым доказано, что функция строго убывает на отрезке .

8. Экстремумы функции . Так как функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и , то – точка максимума функции синус, а – ее точка минимума. В силу периодичности функции получаем, что точки являются точками максимума, а точки точками минимума функции .

9. График функции называется синусоидой.

§ 21. Функция и ее свойства

Определение. Функция, которая каждому действительному числу ставит в соответствие его косинус, называется косинусом и обозначается .

1.Область определения. Поскольку значение определено для любого действительного числа a, то D_f= R.

2. Множество значений. Так как абсциссы точек единичной окружности по модулю не превосходят единицы, то для любого . С другой стороны, любая вертикальная прямая пересекает единичную окружность хотя бы в одной точке, поэтому любое число а Î[–1, 1]является значением косинуса некоторого угла. Следовательно, .

Периодичность.

Предложение. Функция является периодической с основным периодом .

Доказательство. Поскольку длина единичной окружности равна 2p, то числам a и a+2p соответствует одна и та же точка М на единичной окружности. Поэтому 2p является периодом функции . Докажем, что это основной период, т. е. никакое положительное число меньшее 2p периодом функции косинус не является. Пусть . Сравним значения функции косинус в точках 0 и Т. Углу 0 радиан соответствует точка (1,0) на единичной окружности, т.е. . Так как Т меньше длины единичной окружности, то углу соответствует точка единичной окружности, отличная от (1,0). Значит, . Таким образом, . Это показывает, что никакое число Т, , не является периодом функции косинус.

Предложение доказано.

4.Нули функции, промежутки знакопостоянства. Рассмотрим уравнение . Прямая х= 0 пересекает единичную окружность в точках (0, –1) и (0,1), которым соответствуют углы –p/2 и p/2. Учитывая периодичность функции косинус, получаем:

Поскольку все точки единичной окружности, расположенные в I и IV координатных четвертях, имеют положительные абсциссы, а точки, расположенные в II и III четвертях, – отрицательные абсциссы, то

5.Четность, нечетность.

Предложение. Функция является четной.

Доказательство. Углам a и –a соответствуют симметричные относительно оси ОХ точки на единичной окружности. Поэтому их абсциссы равны, т.е. для любого .

6.Непрерывность.

Предложение. Функция непрерывна на R.

Пользуясь леммой и ограниченностью синуса, получаем:

Следовательно, f – нечетная функция.

7.Монотонность.

Предложение. Функция

1) строго возрастает на промежутках ,

2) строго убывает на промежутках .

Доказательство. Опираясь на свойство периодичности, достаточно доказать, что функция строго возрастает на и строго убывает на . Докажем ее возрастание на . Возьмем произвольные точки и , такие что . Покажем, что разность значений функции в этих точках положительна. Из неравенств , и получаем и . Для этих значений аргумента и , следовательно, , т.е. . Тем самым доказано, что функция строго возрастает на .

8. Экстремумы функции . Так как функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутке , то 0 – точка максимума функции косинус, а p – ее точка минимума. В силу периодичности функции получаем, что точки являются точками максимума, а точки – точками минимума функции .

9. График функции также называется синусоидой.

Замечание. Из формул приведения известно, что для любого действительного х. Поэтому свойства функции могут бытьполучены как следствия свойств функции синус.

§ 22. Функция и ее свойства

Определение. Тангенсом действительного числа называется число .

Функция является частным функций и . Поэтому ее свойства вытекают из свойств этих функций.

1.Область определения. Так как значение определено для любого числа x, при котором , то D_f = R\{ }.

Периодичность.

Предложение. Функция является периодической с основным периодом .

Доказательство. Так как D_f = R\{ }, то никакое положительное число, меньшее p, периодом функции не является.Осталось показать, что p – период:

Предложение доказано.

3.Нули функции, промежутки знакопостоянства.

Если , то . Следовательно, .

Учитывая периодичность функции тангенс, получаем:

4.Четность, нечетность.

Предложение. Функция является нечетной.

Доказательство. Областьопределения функции является симметричным относительно нуля множеством и

для любого .

Следовательно, функция тангенс – нечетная.

5.Монотонность.

Предложение. Функция строго возрастает на интервалах .

Доказательство. Опираясь на свойство периодичности, достаточно доказать, что функция строго возрастает на . Возьмем произвольные точки и , такие что . Рассмотрим разность значений функции в этих точках . Поскольку и , то и . Следовательно, , т.е. . Тем самым доказано, что функция строго возрастает на интервале .

6.Непрерывность. Функция непрерывна на своей области определения как частное непрерывных функций.

Асимптоты.

Предложение. Прямые , являются вертикальными асимптотами функции .

Доказательство. Найдем односторонние пределы функции в точке :

, .

Из периодичности тангенса следует, что во всех точках , ееодносторонние пределы равны бесконечности. Предложение доказано.

8. Множество значений.

Предложение. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

Доказательство. Достаточно доказать, что на интервале функция тангенс принимает все действительные значения.

Пусть r – произвольное действительное число. Так как и , то существуют точки х ₁ и х ₂ (х ₁ < х ₂), для которых . Из непрерывности функции на R следует, что она непрерывна на отрезке . По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции заключаем, что число r является значением функции в некоторой точке отрезка , т. е. . Следовательно, .

9. График функции называется тангенсоидой.

§ 23. Функция и ее свойства

Определение. Котангенсом действительного числа называется число .

Функция является частным функций и . Поэтому ее свойства следуют из свойств этих функций. Кроме того, для всех

1.Область определения. Так как значение определено для любого числа x, при котором , то D_f = R\{ }.

Периодичность.

Предложение. Функция является периодической с основным периодом .

Доказательство. Так как D_f= R\{ }, то никакое положительное число, меньшее p, периодом функции не является.Осталось показать, что число p – период:

3.Нули функции, промежутки знакопостоянства.

Найдем нули функции, для этого решим уравнение: .

Из тождества () следует, что функции тангенс и котангенс при принимают одинаковые по знаку значения. Следовательно,

4.Четность, нечетность.

Предложение. Функция является нечетной.

Доказательство. Область определения функции является симметричным относительно нуля множеством и

для любого .

Следовательно, функция котангенс – нечетная.

5.Монотонность.

Предложение. Функция строго убывает на интервалах .

Доказательство. Опираясь на свойство периодичности, достаточно доказать, что функция строго убывает на . Возьмем произвольные точки и , такие что . Рассмотрим разность значений функции в этих точках . Поскольку и , то и . Следовательно, , т.е. . Тем самым доказано, что функция строго убывает на .

6.Непрерывность. Функция непрерывна на своей области определения как частное непрерывных функций.

Асимптоты.

Предложение. Прямые являются вертикальными асимптотами функции .

Доказательство. Найдем односторонние пределы функции в точке 0:

, .

В силу периодичности функции тангенс заключаем, что в точках , ееодносторонние пределы равны бесконечности. Предложение доказано.

8. Множество значений.

Предложение. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

Доказательство. Число 0 является значением функции котангенс, так как . Докажем, что все числа, не равные нулю, также являются значениями функции .

Возьмем произвольное действительное число . Так как множеством значений тангенса является множество всех действительных чисел и , то существует точка х ₀, для которой . Тогда , т. е. . Следовательно, .

9. График функции .

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 29 30 31 32 333435 36 37 38 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!