Обратные тригонометрические функции
§ 24. Функция 
и ее свойства
Функция 
строго возрастает на отрезке 
, поэтому ее сужение на этот отрезок является обратимой функцией.
Определение. Функция, обратная для сужения функции на отрезок , называется арксинусом и обозначается .
Из определения обратной функции следует:
.
1. Область определения, множество значений. Из определения обратной функции следует, что областью определения и множеством значений функции является соответственно множество значений и область определения функции , где 
. Таким образом, 
, 
.
2. Ограниченность. Функция 
ограничена, так как ее множество значений является ограниченным числовым множеством. Таким образом, 
для любого х 
.
3. Непрерывность. Функция непрерывна как обратная для непрерывной функции.
4. Четность, нечетность.
Предложение. Функция является нечетной.
Доказательство. Область определения арксинуса – симметричное относительно нуля множество.
Возьмем произвольную точку 
и докажем равенство 
. Пусть 
. По определению арксинуса имеем 
и 
. Тогда 
и в силу нечетности синуса 
. По определению арксинуса получаем 
. Из равенств и следует . Предложение доказано.
5. Монотонность. Функция является обратной для строго возрастающей функции, следовательно, также строго возрастает.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!