Свойства степени с натуральным показателем
|
Доказательство этих свойств следует непосредственно из определения степени с натуральным показателем.
Определение. Степенной функцией с натуральным показателем называется функция, определенная формулой 
(
, n > 1).
Замечание. Функцию 
является линейной, ее не относят к степенным. Однако в доказательствах мы не будем исключать этот случай.
Свойства функции ,
1.Область определения. 
, поскольку операция возведения в натуральную степень определена для любого действительного числа.
2.Нули функции, промежутки знакопостоянства. Очевидно, 
. Если n четно, то 
для любого 
. Если n нечетно, то для всех 
и 
для всех 
3.Непрерывность. Функция 
непрерывна на Rкак произведение n экземпляров функции 
, непрерывность которой в любой точке числовой прямой легко устанавливается непосредственно по определению.
4.Четность, нечетность.
Предложение. Функция , является четной, если n четно, и нечетной, если n нечетно.
Доказательство. – симметричное относительно нуля множество.
Пусть 
, 
.
Тогда 
для любого 
. Следовательно, – четная функция при четном п.
Пусть 
, .
Тогда 
для любого . Следовательно, – нечетная функция при
нечетном п.
5.Монотонность.
Предложение. Функция (
)
1) при нечетном п строго возрастает на R,
2) при четном п строго убывает на 
и строго возрастает
на 
.
Доказательство. Опираясь на свойства четности, нечетности при различных п, достаточно доказать, что функция на 
строго возрастает.
|
|
|
Возьмем произвольные 
. Поскольку для неотрицательных чисел по свойству числовых неравенств из 
следует 
, то f строго возрастает на .
6.Поведение функции в бесконечно удаленных точках.
Предложение. (1) 
,
(2) 
Доказательство. Докажем равенство (1). По определению:
.
При п = 1 доказательство очевидно. Пусть 
. Для произвольного 
возьмем 
. Тогда для любого числа 
будет выполнено: 
. Умножив это неравенство на себя п -1 раз, получим: 
(*). Из неравенств 
следует 
(**). Перемножим неравенства (*) и (**), тогда 
. Проведенные рассуждения означают, что 
. Равенство (2) следует из свойств четности, нечетности f.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!