III. Периодичность.
Определение. Число Т ≠ 0 называется периодом функции f, если области определения функции вместе с любой точкой х принадлежат также точки х + Т и х – Т, и в этих точках значения функции равны:
1) 
,
2) 
.
Определение. Функция f называется периодической, если она имеет период.
Периодическая функция каждое свое значение принимает бесконечно много раз. Очевидно, если число Т является периодом функции f, то ее периодом также будет любое число пТ при целом ненулевом п.
При построении графика периодической функции достаточно построить сначала его часть на любом отрезке длиной Т, а затем осуществить параллельный перенос этой части вдоль оси ОХ на Т единиц вправо и влево и далее достроить таким образом нужную часть графика.
Определение. Наименьший положительный период периодической функции называется ее основным периодом и обозначается То.
Периодическая функция может и не иметь основного периода.
Примеры.
1. Функция 
является периодической.
Для нее любое число Т ≠ 0 является периодом, поскольку:
1) 
=R,
2) 
для любого числа х.
Так как во множестве всех действительных положительных чисел нет наименьшего элемента, то функция не имеет основного периода.
2. Тригонометрические функции 
являются периодическими и имеют основной период 
(доказательство этого факта см. в следующей главе).
3. Функция 
не является периодической.
Покажем, что никакое число Т ≠ 0 не является периодом функции. Действительно, для любого число Т ≠ 0 имеем: 
. Следовательно, функция – не периодическая.
|
|
|
Этот вывод можно также обосновать и тем, что данная функция принимает значение 0 только один раз при 
.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 15; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!