Дифференциальных уравнений

Пусть требуется решить задачу Коши:

(33.28)

где – функция, непрерывно дифференцируемая в прямоугольнике . Выбрав достаточно малый шаг интегрирования h, построим систему равноотстоящих точек (узлов) где

Суть метода Эйлера состоит в том, что за приближенное значение решения уравнения в точке берется ордината точки пересечения прямой

(33.29)

с прямой т. е.

(33.30)

Отрезки (33.29) образуют ломаную, называемую ломаной Эйлера. Она является приближенным решением задачи Коши (33.28), аппроксимирующим искомую интегральную кривую уравнения (32.27).

Пример 1. Методом последовательного дифференцирования найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Будем искать решение данного уравнения в виде ряда Маклорена

Подставляя в уравнение начальные условия, получим

Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:

……………….…………………………………………

Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем

Следовательно, искомое частное решение уравнения имеет вид:

Пример 2. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые четыре члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию

Решение. Будем искать решение уравнения в виде степенного ряда

Дифференцируем его:

Согласно начальному условию, Подставляя выражения для y, в исходное уравнение, получим

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях разности в обеих частях полученного равенства, имеем систему уравнений для определения коэффициентов

Решая эту систему, найдем Следовательно, искомое частное решение уравнения запишется в виде:

Пример 3. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши на отрезке полагая

Решение. Находим последовательные значения аргумента: По формуле (33.30) вычисляем соответствующие значения искомой функции:

Таким образом, получаем следующую таблицу:


	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5	0,98 0,9408 0,8844 0,8136	0,990049… 0,960789… 0,913931… 0,852143… 0,778800…

В последнем столбце таблицы для сравнения помещены значения точного решения задачи Коши.

Задания

I уровень

1.1. С помощью метода последовательного дифференцирования найдите первые три члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию

1.2. Методом последовательного дифференцирования найдите первые три члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям

1.3. С помощью метода последовательного дифференцирования найдите частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям

1.4. Используя метод неопределенных коэффициентов, найдите три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию

1.5. Методом неопределенных коэффициентов найдите первые четыре члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям

1.6. С помощью метода неопределенных коэффициентов найдите частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию

1.7. Методом Эйлера найдите пять значений функции определяемой уравнением при начальном условии полагая

1.8. Методом Эйлера найдите решение задачи Коши в первых пяти точках отрезка принимая

1.9. С помощью метода Эйлера найдите численное решение дифференциального уравнения на отрезке при начальном условии полагая

II уровень

2.1. Методом последовательного дифференцирования найдите первые три, отличные от нуля, члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям

2.2. Используя метод последовательного дифференцирования, найдите частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

2.3. С помощью метода последовательного дифференцирования найдите общее решение дифференциального уравнения

2.4. Применяя метод последовательного дифференцирования, найдите частное решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям ограничившись тремя-четырьмя, отличными от нуля, членами.

2.5. Методом неопределенных коэффициентов найдите первые четыре, отличные от нуля, члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию

2.6. С помощью метода неопределенных коэффициентов найдите частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

2.7. С помощью метода неопределенных коэффициентов найдите общее решение дифференциального уравнения

2.8. Методом Эйлера найдите решение задачи Коши на отрезке полагая

III уровень

3.1. Найдите три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию

3.2. Найдите первые пять, отличные от нуля, членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям

3.3. Найдите общее решение дифференциального уравнения методом интегрирования с помощью рядов.

3.4. Найдите решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям в виде многочлена на отрезке с погрешностью, не превышающей

3.5. Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений методом интегрирования с помощью рядов.

3.6. Составьте алгоритмическую схему приближенного решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера.

Приложения

1. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ



0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9

1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9

2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9

3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

2. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА

x		x		x		x

0,00	0,0000	0,44	0,1700	0,88	0,3106	1,32	0,4066
0,01	0,0040	0,45	0,1736	0,89	0,3133	1,33	0,4082
0,02	0,0080	0,46	0,1772	0,90	0,3159	1,34	0,4099
0,03	0,0120	0,47	0,1808	0,91	0,3186	1,35	0,4115
0,04	0,0160	0,48	0,1844	0,92	0,3212	1,36	0,4131
0,05	0,0199	0,49	0,1879	0,93	0,3238	1,37	0,4147
0,06	0,0239	0,50	0,1915	0,94	0,3264	1,38	0,4162
0,07	0,0279	0,51	0,1950	0,95	0,3289	1,39	0,4177
0,08	0,0319	0,52	0,1985	0,96	0,3315	1,40	0,4192
0,09	0,0359	0,53	0,2019	0,97	0,3340	1,41	0,4207
0,10	0,0398	0,54	0,2054	0,98	0,3365	1,42	0,4222
0,11	0,0438	0,55	0,2088	0,99	0,3389	1,43	0,4236
0,12	0,0478	0,56	0,2123	1,00	0,3413	1,44	0,4251
0,13	0,0517	0,57	0,2157	1,01	0,3438	1,45	0,4265
0,14	0,0557	0,58	0,2190	1,02	0,3461	1,46	0,4279
0,15	0,0596	0,59	0,2224	1,03	0,3485	1,47	0,4292
0,16	0,0636	0,60	0,2257	1,04	0,3508	1,48	0,4306
0,17	0,0675	0,61	0,2291	1,05	0,3531	1,49	0,4319
0,18	0,0714	0,62	0,2324	1,06	0,3554	1,50	0,4332
0,19	0,0753	0,63	0,2357	1,07	0,3577	1,51	0,4345
0,20	0,0793	0,64	0,2389	1,08	0,3599	1,52	0,4357
0,21	0,0832	0,65	0,2422	1,09	0,3621	1,53	0,4370
0,22	0,0871	0,66	0,2454	1,10	0,3643	1,54	0,4382
0,23	0,0910	0,67	0,2486	1,11	0,3665	1,55	0,4394
0,24	0,0948	0,68	0,2517	1,12	0,3686	1,56	0,4406
0,25	0,0987	0,69	0,2549	1,13	0,3708	1,57	0,4418
0,26	0,1026	0,70	0,2580	1,14	0,3729	1,58	0,4429
0,27	0,1064	0,71	0,2611	1,15	0,3749	1,59	0,4441
0,28	0,1103	0,72	0,2642	1,16	0,3770	1,60	0,4452
0,29	0,1141	0,73	0,2673	1,17	0,3790	1,61	0,4463
0,30	0,1179	0,74	0,2703	1,18	0,3810	1,62	0,4474
0,31	0,1217	0,75	0,2734	1,19	0,3830	1,63	0,4484
0,32	0,1255	0,76	0,2764	1,20	0,3849	1,64	0,4495
0,33	0,1293	0,77	0,2794	1,21	0,3869	1,65	0,4505
0,34	0,1331	0,78	0,2823	1,22	0,3883	1,66	0,4515
0,35	0,1368	0,79	0,2852	1,23	0,3907	1,67	0,4525
0,36	0,1406	0,80	0,2881	1,24	0,3925	1,68	0,4535
0,37	0,1443	0,81	0,2910	1,25	0,3944	1,69	0,4545
0,38	0,1480	0,82	0,2939	1,26	0,3962	1,70	0,4554
0,39	0,1517	0,83	0,2967	1,27	0,3980	1,71	0,4564
0,40	0,1554	0,84	0,2995	1,28	0,3997	1,72	0,4573
0,41	0,1591	0,85	0,3023	1,29	0,4015	1,73	0,4582
0,42	0,1628	0,86	0,3051	1,30	0,4032	1,74	0,4591
0,43	0,1664	0,87	0,3078	1,31	0,4049	1,75	0,4599

Окончание

x		x		x		x

1,76	0,4608	1,97	0,4756	2,36	0,4909	2,78	0,4973
1,77	0,4616	1,98	0,4761	2,38	0,4913	2,80	0,4974
1,78	0,4625	1,99	0,4767	2,40	0,4918	2,82	0,4976
1,79	0,4633	2,00	0,4772	2,42	0,4922	2,84	0,4977
1,80	0,4641	2,02	0,4783	2,44	0,4927	2,86	0,4979
1,81	0,4649	2,04	0,4793	2,46	0,4931	2,88	0,4980
1,82	0,4656	2,06	0,4803	2,48	0,4934	2,90	0,4981
1,83	0,4664	2,08	0,4812	2,50	0,4938	2,92	0,4982
1,84	0,4671	2,10	0,4821	2,52	0,4941	2,94	0,4984
1,85	0,4678	2,12	0,4830	2,54	0,4945	2,96	0,4985
1,86	0,4686	2,14	0,4838	2,56	0,4948	2,98	0,4986
1,87	0,4693	2,16	0,4846	2,58	0,4951	3,00	0,49865
1,88	0,4699	2,18	0,4854	2,60	0,4953	3,20	0,49931
1,89	0,4706	2,20	0,4861	2,62	0,4956	3,40	0,49966
1,90	0,4713	2,22	0,4868	2,64	0,4959	3,60	0,499841
1,91	0,4719	2,24	0,4875	2,66	0,4961	3,80	0,499928
1,92	0,4726	2,26	0,4881	2,68	0,4963	4,00	0,499968
1,93	0,4732	2,28	0,4887	2,70	0,4965	4,50	0,499997
1,94	0,4738	2,30	0,4893	2,72	0,4967	5,00	0,499997
1,95	0,4744	2,32	0,4898	2,74	0,4969
1,96	0,4750	2,34	0,4904	2,76	0,4971

3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА



0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,4966	0,4493	0,4066
0,0905	0,1637	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3595	0,3659
0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647
0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494
	0,0001	0,0003	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111
			0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020
						0,0001	0,0002	0,0003



0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001	0,0000
0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011	0,0005
0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0050	0,0023
0,0613	0,1804	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150	0,0076
0,0153	0,0902	0,1680	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337	0,0189
0,0031	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607	0,0378
0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911	0,0631
0,0001	0,0034	0,0216	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171	0,0901
	0,0009	0,0081	0,0298	0,0653	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318	0,1126

Окончание



0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,1318	0,1251
	0,0008	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186	0,1251
	0,0002	0,0019	0,0082	0,0213	0,0452	0,0722	0,0970	0,1137
	0,0001	0,0006	0,0034	0,0126	0,0263	0,0481	0,0728	0,0948
		0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504	0,0729
		0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324	0,0521
			0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194	0,0347
				0,0003	0,0014	0,0045	0,0109	0,0217
				0,0001	0,0006	0,0021	0,0058	0,0128
					0,0002	0,0009	0,0029	0,0071
					0,0001	0,0004	0,0014	0,0037
						0,0002	0,0006	0,0019
						0,0001	0,0003	0,0009
							0,0001	0,0004
								0,0002
								0,0001

4. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ

0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,099

2,78	4,60	8,61	2,093	2,861	3,883
2,57	4,03	6,86	2,064	2,797	3,745
2,45	3,71	5,96	2,045	2,756	3,659
2,37	3,50	5,41	2,032	2,720	3,600
2,31	3,36	5,04	2,023	2,708	3,558
2,26	3,25	4,78	2,016	2,692	3,527
2,23	3,17	4,59	2,009	2,679	3,502
2,20	3,11	4,44	2,001	2,662	3,464
2,18	3,06	4,32	1,996	2,649	3,439
2,16	3,01	4,22	1,991	2,640	3,418
2,15	2,98	4,14	1,987	2,633	3,403
2,13	2,95	4,07	1,984	2,627	3,392
2,12	2,92	4,02	1,980	2,617	3,374
2,11	2,90	3,97	1,960	2,576	3,291
2,10	2,88	3,92

5. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ

0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999

1,37	2,67	5,64	0,37	0,58	0,88
1,09	2,01	3,88	0,32	0,49	0,73
0,92	1,62	2,98	0,28	0,43	0,63
0,80	1,38	2,42	0,26	0,38	0,56
0,71	1,20	2,06	0,24	0,35	0,50
0,65	1,08	1,80	0,22	0,32	0,46
0,59	0,98	1,60	0,21	0,30	0,43
0,55	0,90	1,45	0,188	0,269	0,38
0,52	0,83	1,33	0,174	0,245	0,34
0,48	0,78	1,23	0,161	0,226	0,31
0,46	0,73	1,15	0,151	0,211	0,29
0,44	0,70	1,07	0,143	0,198	0,27
0,42	0,66	1,01	0,115	0,160	0,211
0,40	0,63	0,96	0,099	0,136	0,185
0,39	0,60	0,92	0,089	0,120	0,162

6. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ФИШЕРА–СНЕДЕКОРА

Уровень значимости α = 0,01



	98,49	99,01	90,17	99,25	99,33	99,30	99,34	99,36	99,36	99,40	99,41	99,42
	34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34	27,23	27,13	27,05
	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,54	14,45	14,37
	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	10,05	9,96	9,89
	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,79	7,72
	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71	6,62	6,54	6,47
	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	5,82	5,74	5,67
	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11
	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	4,85	4,78	4,71
	9,86	7,20	6,22	5,67	5,32	5,07	4,88	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40
	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16
	9,07	6,70	5,74	5,20	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	4,02	3,96
	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,86	3,80
	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,73	3,67
	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,61	3,55
	8,40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,52	3,45

Окончание

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 111213 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!