Численное интегрирование
Задача численного интегрирования заключается в вычислении значения определенного интеграла I на основании ряда значений подынтегральной функции в точках промежутка интегрирования. Формулы численного интегрирования называются квадратурными формулами. Рассмотрим простейшие из них, использующие локальную интерполяцию при точечной аппроксимации подынтегральной функции.
С помощью точек 
разобьем отрезок интегрирования 
на n равных частичных отрезков 
с шагом интегрирования 
и обозначим 
Величина 
где 
– численное значение выбранной квадратурной формулы, называется остаточным членом квадратурной формулы.
Формула левых прямоугольников:
Формула правых прямоугольников:
Если 
непрерывна на 
то для формул левых и правых прямоугольников выполняется
Формула средних прямоугольников:
(33.21)
Если 
непрерывна на то для формулы средних прямоугольников выполняется
(33.22)
Формула трапеций:
(33.23)
Если непрерывна на то для формулы трапеций выполняется
(33.24)
Формула Симпсона (формула парабол):
(33.25)
где 
Если 
непрерывна на то для формулы Симпсона выполняется
(33.26)
Пример 1. Вычислить интеграл 
с точностью до 
путем разложения подынтегральной функции в степенной ряд.
Решение. Воспользуемся формулой Маклорена
Заменяя в ней x на 
получим ряд
Этот ряд сходится при любом 
поэтому его можно почленно интегрировать. Тогда
Полученный числовой ряд является знакочередующимся. Так как
но 
то отсюда имеем оценку остаточного члена:
|
|
|
Поэтому для обеспечения заданной степени точности достаточно взять два члена ряда
Следовательно, 
Пример 2. Вычислить интеграл 
разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и используя три члена этого разложения. Определить абсолютную погрешность результата.
Решение. Воспользуемся формулой
Получим
Найдем абсолютную погрешность
т. е. 
В окончательном результате оставим шесть значащих цифр: 
Тогда
т. е. 
Следовательно, 
Пример 3. Вычислить с помощью формулы средних прямоугольников интеграл 
приняв 
Определить абсолютную погрешность результата.
Решение. По заданным пределам интегрирования 
и 
найдем шаг 
В данном случае точками разбиения отрезка 
будут 
и 
Тогда по формуле (33.21), где 
получим
Находим абсолютную погрешность метода 
Так как
то, используя формулу (33.22), имеем
т. е. 
В окончательном результате оставим четыре значащие цифры: 
Тогда
т. е. 
Следовательно, 
Для сравнения приведем точное значение интеграла: 
Пример 4. Вычислить с помощью формулы трапеций интеграл 
с точностью до 
Решение. Для определения необходимого числа разбиений n оценим остаточный член 
по формуле (33.24). Так как
|
|
|
то 
Решая неравенство
получим 
примем 
Зная пределы интегрирования, найдем шаг 
Точками разбиения служат 
Найдем соответствующие значения подынтегральной функции 
Тогда по формуле (33.23) получаем
Следовательно, 
Для сравнения приведем точное значение интеграла: 
Пример 5. Вычислить с помощью формулы Симпсона интеграл 
с точностью до 
Решение. Для определения n оценим остаточный член по формуле (33.26). Можно показать (проверить самостоятельно!), что
Поэтому
Решая неравенство
получим 
примем 
Нужно определить значения подынтегральной функции при 
для следующих значений аргумента: 
Найдем соответствующие значения 
Тогда по формуле (33.25) получим
Следовательно, 
Задания
I уровень
1.1. С помощью степенных рядов вычислите интеграл с точностью до 
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Пользуясь формулой левых прямоугольников при 
вычислите 
1.3. Пользуясь формулой правых прямоугольников при вычислите 
1.4. Используя формулу средних прямоугольников при вычислите 
1.5. С помощью формулы трапеций при 
вычислите 
и определите абсолютную и относительную погрешности результата, зная точное значение интеграла.
|
|
|
1.6. С помощью формулы Симпсона при 
вычислите 
и определите абсолютную и относительную погрешности результата, зная точное значение интеграла.
1.7. Определите, на сколько частей нужно разбить промежуток интегрирования, чтобы по формулам левых и правых прямоугольников с точностью до 
вычислить 
1.8. Определите, на сколько частей следует разбить промежуток интегрирования, чтобы по формуле средних прямоугольников с точностью до 
вычислить 
1.9. Определите, на сколько частей следует разбить промежуток интегрирования, чтобы по формуле трапеций с точностью до 
вычислить 
1.10. Ширина реки равна 20 м. Замеры глубины в поперечном сечении реки через каждые 2 м дали следующие результаты, указанные в следующей таблице:
| |||||||||||
| 0,4 | 0,8 | 1,1 | 1,4 | 1,8 | 2,1 | 2,4 | 1,9 | 1,5 | 0,9 | 0,5 |
Здесь через x обозначено расстояние от одного из берегов, а через y – соответствующая глубина реки. Требуется найти площадь поперечного сечения реки.
II уровень
2.1. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите 
с точностью до 
2.2. Вычислите 
разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и используя три члена этого разложения. Определите абсолютную погрешность результата.
|
|
|
2.3. Вычислите с помощью формул левых и правых прямоугольников интеграл 
с точностью до 
2.4. Вычислите 
с точностью до 
с помощью формулы средних прямоугольников.
2.5. Вычислите 
с точностью до с помощью формулы трапеций.
2.6. Вычислите 
с точностью до 
с помощью формулы Симпсона.
2.7. Найдите с точностью до 
длину дуги косинусоиды 
2.8. Найдите с точностью до 
длину дуги лемнискаты Бернулли 
III уровень
3.1. Вычислите 
с точностью до путем разложения подынтегральной функции в функциональный ряд.
3.2. По формуле левых прямоугольников вычислите 
приняв 
и определите абсолютную погрешность результата.
3.3. По формуле правых прямоугольников вычислите 
приняв и определите абсолютную погрешность результата.
3.4. По формуле средних прямоугольников вычислите 
полагая 
и определите абсолютную погрешность результата.
3.5. Пользуясь формулой трапеций при 
вычислите 
и определите абсолютную погрешность результата.
3.6. Пользуясь формулой Симпсона при вычислите 
и определите абсолютную погрешность результата.
3.7. Найдите с точностью до площадь фигуры, ограниченной кривой 
прямыми 
и осью Ox.
3.8. Составьте алгоритмическую схему приближенного вычисления определенного интеграла от функции, заданной таблично, по формулам левых и правых прямоугольников.
3.9. Составьте алгоритмическую схему приближенного вычисления определенного интеграла от функции, заданной таблично, по формуле средних прямоугольников.
3.10. Составьте алгоритмическую схему приближенного вычисления определенного интеграла от функции, заданной таблично, по формуле трапеций.
3.11. Составьте алгоритмическую схему приближенного вычисления определенного интеграла от функции, заданной таблично, по формуле Симпсона.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!