Погрешности арифметических действий
Имеют место следующие формулы:
(33.4)
где 
Считая относительные погрешности достаточно малыми, можно использовать приближенные формулы:
(33.5)
(33.6)
При сложении и вычитании чисел, имеющих разное количество десятичных знаков, необходимо:
1) выделить число с наименьшим количеством десятичных знаков;
2) остальные числа округлить, сохранив в них на один знак больше, чем у выделенного числа;
3) полученный результат округлить на один знак.
При умножении и делении чисел, имеющих разное количество значащих цифр, необходимо:
1) выделить число с наименьшим количеством значащих цифр;
2) остальные числа округлить, сохранив в них на одну значащую цифру больше, чем у выделенного числа;
3) в результате сохранить столько значащих цифр, сколько их было у выделенного числа.
Пример 1. Определить, какое равенство точнее: 
или 
Решение. Обозначим 
Согласно формуле (33.1), имеем
Так как 
то равенство 
является более точным.
Пример 2. Округлить сомнительные цифры приближенного числа 
оставив верные цифры в широком смысле, если 
Определить абсолютную погрешность результата.
Решение. Представим 
в виде 
и из формулы (33.2), найдем
т. е. 
Так как 
то в числе 
верными в широком смысле являются три цифры: 8, 2, 6. Округляем число a до трех значащих цифр: 
Тогда
Поскольку 
то число 
имеет две верные в широком смысле цифры: 8, 2. Поэтому округляем число a до двух значащих цифр: 
Тогда
|
|
|
т. е. 
Так как 
то две оставшиеся цифры результата 
верны в широком (и в узком!) смысле. Таким образом, 
Пример 3. Определить, с каким минимальным количеством верных значащих цифр в узком смысле надо взять число e, чтобы относительная погрешность при этом не превышала 
Решение. В соответствии с условием 
т. е. 
Имеем 
отсюда 
и 
Следовательно, 
Пример 4. Вычислить значение выражения 
и определить погрешности результата, если 
и у каждого из заданных чисел все выписанные цифры верные в узком смысле.
Решение. Находим
Вычисляем погрешности, используя формулы (33.4)–(33.6):
В окончательном результате следует оставить три значащие цифры, так как столько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр:
т. е. 
Следовательно, 
т. е. 
Задания
I уровень
1.1. Округлите число 
до шести, пяти, четырех, трех и двух значащих цифр.
1.2. Округлите точное число 
до трех значащих цифр. Определите абсолютную и относительную погрешности результата.
1.3. Найдите абсолютную погрешность приближенного числа 
если 
1.4. Определите, какое равенство точнее: 
или 
1.5. Сравните качество измерения длины 
м и диаметра 
мм проволоки, используемой для изготовления электронагревателя.
|
|
|
1.6. Определите количество верных значащих цифр в узком и широком смысле в числе 
1.7. Определите количество верных значащих цифр в узком и широком смысле в числе 
если 
1.8. Округлите сомнительные цифры числа 
оставив верные цифры в широком смысле. Определите абсолютную погрешность результата.
1.9. Округлите сомнительные цифры числа 
оставив верные цифры в узком смысле, если 
Определите абсолютную погрешность результата.
1.10. Округлите сомнительные цифры числа 
оставив верные цифры в широком смысле, если 
Определите абсолютную погрешность результата.
II уровень
2.1. Округлите сомнительные цифры числа 
оставив верные цифры в узком смысле. Определите абсолютную погрешность результата.
2.2. Определите, с каким минимальным количеством верных значащих цифр в широком смысле надо взять число 
чтобы относительная погрешность при этом не превышала 
2.3. Вычислите 
если 
и определите погрешности результата.
2.4. Вычислите 
если 
и определите погрешности результата.
2.5. Вычислите 
если 
и определите погрешности результата.
2.6. Вычислите площадь S прямоугольника, если его стороны, измеренные с точностью до 1 мм, равны: 
Определите погрешности результата.
|
|
|
2.7. Ребро куба, измеренное с точностью до 0,5 мм, оказалось равным а = 23,4 см. Найдите объем V куба и определите погрешности результата.
2.8. У прямоугольного треугольника гипотенуза 
один из катетов 
Вычислите синус меньшего угла 
треугольника и определите погрешности результата.
2.9. Определите, со сколькими верными значащими цифрами можно найти сторону квадрата, если его площадь равна 
III уровень
3.1. Найдите разность 
с тремя значащими цифрами и определите погрешности результата при условии, что 
3.2. Вычислите объем V круглого конуса, если его высота и радиус основания, измеренные с точностью до 1 %, соответственно равны: h = 20 см, r = 10 см. Определите погрешности результата.
3.3. Вычислите площадь S кругового кольца, внутренний и внешний радиусы которого соответственно равны: 
Определите погрешности результата.
3.4. Найдите определитель 
предполагая, что у каждого из заданных чисел все выписанные цифры верные в узком смысле. Определите погрешности результата.
3.5. Вычислите 
считая, что у каждого из заданных чисел все выписанные цифры верные в широком смысле. Определите погрешности результата.
|
|
|
3.6. Вычислите 
предполагая, что у каждого из заданных чисел все выписанные цифры верные в узком смысле. Определите погрешности результата.
3.7. Вычислите 
если 
и определите погрешности результата.
3.8. Вычислите 
если 
и определите погрешности результата.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!