Тема: Однофакторный дисперсионный анализ оценки погрешности измерений и характеристик приборов
Цель работы: научиться оценивать погрешность измерений и характеристик приборов на ПК в программе Excel.
Задание. 1. Проверить погрешность и оценить класс точности измерений разрывной машины РТ-250М.
2. Провести сравнительный анализ точности измерений двух приборов.
Основные сведения
В сертификации для контроля качества продукции и процессов очень важно, чтобы исследовательские приборы и оборудование давали максимально точные измерения характеристик продукции. Основные метрологические характеристики приборов: погрешность, точность и чувствительность.
Погрешность характеризует разницу между показателем прибора и действительным значением измеряемой величины. Погрешность может бытьабсолютная:
а=А- X ,
где а- абсолютная погрешность в метрологии; А- приближенное значение измеряемой величины; Х - точное (постоянное) значение измеряемой величины.
Погрешность (ошибка) может быть положительной или отрицательной, а знак ее, как правило, остается неизвестным, поэтому:
X = A±a,
Относительная погрешность (g) определяется отношением абсолютной погрешности (a) к точному значению X измеряемой величины:
g = a / X,
При оценке предельных абсолютных погрешностей (am) принимают их равными цене деления шкалы прибора (с), то есть αm = c.
Следует иметь в виду, что абсолютная ошибка (a) не должна выходить за пределы допустимой абсолютной погрешности (α m), то есть αm = a, в наименее благоприятном случае a = ± am.
|
|
|
Обычно вычисляют допустимую предельнуюотносительную погрешность (g m) по формуле:
gm= αm/A или
gm= 100(αm/A) [%] .
Для приборов имеющих шкалу, формулу можно привести к виду
gm = 100(с/ A ) [%] .
Ошибку измерения прибора (g П), вычисляют по формуле:
g п = 100( αm / A С ) [%], где 
Amax - максимальное показание прибора (предельное значение шкалы прибора) при измерении величины (например, прочность ткани); Amin - минимальное показание прибора при измерении той же величины.
Точность прибора или измерения можно оценить не только по относительной погрешности, но и по показателю точности прибора.
Показатель точности (Т) величина обратная предельной относительной погрешности gm, выраженной в процентах:
Т = 1/ gm =A /(100·α m ).
Максимальный показатель точностиTmопределяется, если A = A max то есть Tm = Amax /(100·α m ).
Классы и показатели точности приборов приведены в таблице 3.7.1.
Таблица 3.7.1. Показатели точности приборов различных классов
| Класс точности | Показатель точности, не менее | Класс точности | Показатель точности, не менее |
| 5а | 100000 = 1,0·105 | 2а | 100 = 1,0·102 |
| 5б | 50000 = 0,5·105 | 2б | 50 = 0,5·102 |
| 5в | 20000 = 0,2·105 | 2в | 20 = 0,2·102 |
| 4а | 10000 = 1,0·104 | 1а | 10 = 1,0·101 |
| 4б | 5000 = 0,5·104 | 1б | 5 = 0,5·101 |
| 4в | 2000 = 0,2·104 | 1в | 2 = 0,2·101 |
| 3а | 1000 = 1,0·103 | 0а | 1 = 1,0·100 |
| 3б | 500 = 0,5·103 | 0б | 0,5 = 0,5·100 |
| 3в | 200 = 0,2·103 | 0в | 0,2 = 0,2·100 |
Примечание: 1. Чем выше числовое обозначение класса точности прибора, тем он точнее. 2. Буквенные обозначения а, б, в - соответствуют 1,0; 0,5; 0,2 - на которые, для определения точности, умножается величина, полученная после возведения десяти в степень, равную числовому обозначению класса прибора.
|
|
|
Целесообразно давать определение среднего класса точности по среднему показателю точности Т C, рассчитываемому по формуле:
TC = AC/100·αm =(Amax+ Amin)/200·αm .
Для многих приборов шкала измерения которых начинается с нуля, A min = 0, A max = Т M·100· αm, можно записать:
TC = Amax /200· αm = Т M·100·αm /200·αm = 0,5·TM .
Для обозначения классов точности приборов применяют также числовое значение предельной относительной погрешности, выраженной в процентах. Такое обозначение называют классом погрешности приборов.
Установлена зависимость между классом точности и классом погрешности приборов:
| Класс точности | 2б | 2в | 1а | 1б | 1в | 0а | 0б |
| Класс погрешности | 0,02 | 0,05 | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 1,0;1,5 | 2,5;4,0 |
Чувствительность прибора S aопределяется отношением линейного или углового перемещения (∆n) указателя к изменению (∆A) измеряемой величины, вызвавшему это перемещение Sa= ∆n / ∆A .
|
|
|
Если ∆n выражено числом делений шкалы, а ∆A в единицах измерения шкалы прибора, то величина (с), обратная чувствительности, равняется цене одного деления шкалы:
c = 1/ Sa = ∆A /∆n.
При уменьшении величины ∆Aнаступает такой момент, когда очень малая величина ∆A не вызывает никакого перемещения указателя, то есть ∆n = 0. Это обычно является результатом трения и наличия зазоров в деталях прибора.
Наибольшая величина Р изменения измеряемой величины, при которой ∆n = 0, называется порогом чувствительности. При ∆A≤Р, ∆n = 0, а при ∆A>Р , ∆n > 0.
Для средств измерений с линейной градуировочной характеристикой, абсолютная чувствительность не зависит от значения измеряемой величины.
Качество измерений (по А.В. Леонтовичу) принято оценивать величиной предельной относительной погрешности gm(таблица 3.7.2).
Таблица 3.7.2
| Характеристика качества измерений | Предельная относительная погрешность, gm , % |
| Очень хорошее | Менее 1 |
| Среднее | от 1 до 5 |
| Низкое | более 5 |
Пример 3.7.1. Разрывная машина РТ-250М имеет три шкалы измерения усилия. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности ткани. Шкала А с диапазоном измерения от 0 до 50 кгс (даН) и ценой деления 0,1 кгс; шкала Б имеет диапазон измерения от 0 до 100 кгс (даН) с ценой деления 0,2 кгс; шкала В диапазон измерений от 0 до 250 кгс (даН) с ценой деления 0,5 кгс.
|
|
|
Общая погрешность ( w ), возникающая при измерении разрывного усилия проб ткани, определяется совместным учетом относительной ошибки выборки МО и измерений прибора g П и рассчитывается по формуле:
.
Зная примерное значение АС, можно определить при каких значенияхА измерения будут очень хорошими, средними и низким.
При испытаниях на разрывной машине РТ-250М по шкале А значение АС = 25 кгс (даН), для шкалы Б значение АС = 50 кгс (даН), а для шкалы В значение АС = 125 кгс (даН). Определим нормированное (допустимое) значение ошибки прибора.
При использовании пояса А получим:g = 100( αm / A С )= =100(0,1/25)=0,4
При использовании пояса Б получим:g = 100(0,2/50)=0,4
При использовании пояса В получим:g = 100(0,5/125)=0,4
Учитывая, что значение g<1, то качество измерений хорошее.
Проведем статистическую обработку результатов испытания ткани на разрывной машине РТ-250М. Результаты испытаний представлены в табл. 3.7.3.
Таблица 3.7.3. Результаты испытания ткани на разрывной машине
| основа | уток | ||||||
| Шкала А | 45,5 | 45,8 | 45,4 | 45,2 | 45,3 | 46,7 | 45,4 |
| Шкала Б | 45,7 | 47,3 | 49 | 46,5 | 47,8 | 47,1 | 48,9 |
| Шкала В | 46,6 | 48,4 | 48,2 | 45,8 | 46,3 | 47,5 | 48,1 |
1. Среднее арифметическое значение
где n - число испытаний.
2.Среднее квадратичное отклонение (смещенное) (SS)
,
Где х1 = А1 -Аср; х2 = А2 -Аср; и так далее.
3. Среднее квадратичное отклонение (несмещенное) (М S) S Н = S · МК , где МК - коэффициент, зависящий от числа измерений п и его значения приведены в таблице
п 2 3 4 5 6 10
МК 1,128 1,085 1,064 1,051 1,042 1,025
4. Ошибка среднего арифметического 
,
где значение t, коэффициент Стьюдента, зависит от числа степеней свободы (df) f = п-1, где п - числа испытаний, и при доверительной вероятности 0,95 составляют:
| n | t | n | t | n | t |
| 2 | 12,7 | 4 | 3,18 | 6 | 2,57 |
| 3 | 4,30 | 5 | 2,78 | 10 | 2,26 |
5. Относительная ошибка опыта 
. ( Дисперсия )
6. Коэффициент вариации - 
.
Есть два пути решения задачи. 1-ый путь – решение с применением статистических команд в программе Excel.
2-ой путь – применение пакета Анализа данных /инструмент однофакторный дисперсионный анализ, который используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух и более выборок данных, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности.
Алгоритм действий в программе Excel
Открыть лист Excel. Занести данные по основе в ячейки В1:D3 и данные по утку в ячейки B7:E9. В ячейки А1:А3 и А7:А9 записать номер шкалы, на которой испытывали пробу. Вкладка Данные / Анализ / Анализ данных / Однофакторный дисперсионный анализ / ОК.
Сначала работаем с данными по основе, а затем с данными по утку. В диалоговом окне указать:
Входной интервал: $ A $1:$ D $3 (для данных по основе) $ A $6:$Е$8 (по утку)
Группирование: по строкам
Поставить флажок в поле Метки в первом столбце.
Альфа: 0,01
Выходной интервал: $А$11 (для основы) и $ J $11 (для утка).
ОК. Excel представит результаты в виде двух таблиц 3.7.4 и 3.7.5.
Таблица 3.7.4. Статистические характеристики испытания ткани по основе
| Шкала А | 45,5 | 45,8 | 45,4 | ||||
| Шкала Б | 45,7 | 47,3 | 49 | ||||
| Шкала В | 46,6 | 48,4 | 48,2 | ||||
| Однофакторный дисперсионный анализ | |||||||
| ИТОГИ |
|
|
|
|
|
| |
| Группы | Счет | Сумма | Среднее | Дисперсия |
|
| |
| Шкала А | 3 | 136,7 | 45,56667 | 0,043333 |
|
| |
| Шкала Б | 3 | 142 | 47,33333 | 2,723333 |
|
| |
| Шкала В | 3 | 143,2 | 47,73333 | 0,973333 |
|
| |
| Дисперсионный анализ |
|
|
|
| |||
| Источник вариации | SS | df | MS | F | P-значение | F –крити-ческое | |
| Между группами | 7,97555 | 2 | 3,98777 | 3,198752 | 0,1133 | 10,92476 | |
| Внутри групп | 7,48 | 6 | 1,24666 |
|
|
| |
| Итого | 15,4555 | 8 |
|
|
|
| |
Таблица 3.7.5. Статистические характеристики испытания ткани по утку
| Шкала А | 45,2 | 45,3 | 46,7 | 45,4 | |||
| Шкала Б | 46,5 | 47,8 | 47,1 | 48,9 | |||
| Шкала В | 45,8 | 46,3 | 47,5 | 48,1 | |||
| Однофакторный дисперсионный анализ |
|
| |||||
| ИТОГИ |
|
|
|
|
|
| |
| Группы | Счет | Сумма | Среднее | Дисперсия |
|
| |
| Шкала А | 4 | 182,6 | 45,65 | 0,496667 |
|
| |
| Шкала Б | 4 | 190,3 | 47,575 | 1,0625 |
|
| |
| Шкала В | 4 | 187,7 | 46,925 | 1,1225 |
|
| |
| Дисперсионный анализ |
|
|
|
| |||
| Источник вариации | SS | df | MS | F | P-зна-чение | F- крити-ческое | |
| Между группами | 7,67166 | 2 | 3,83583 | 4,291175 | 0,04911 | 8,021517 | |
| Внутри групп | 8,045 | 9 | 0,89388 |
|
|
| |
| Итого | 15,7166 | 11 |
|
|
|
| |
Из полученных данных видно, что дисперсия данных и по основе и по утку не превышает 3%, что свидетельствует о равномерности ткани по прочности. Незначительные отклонения в показаниях могут быть также обусловлены неудачами экспериментирования (не одинаковые размеры проб, не ровно заправлена проба в зажимы разрывной машины, неточности прибора и др.). Незначительное различие в показаниях среднего квадратичного смещенного и несмещенного свидетельствует об одинаковой точности измерения на разных шкалах разрывной машины. Учитывая, что расчетное значение критерия Фишера (F) меньше F- критического, то можно утверждать, что данные достоверны и значимы.
В табличной форме (табл. 3.7.6) представим характеристики прибора.
Выводы и заключение
Таким образом, не смотря на то, что разрывная машина по нормативам обладает высоким классом точности 5. Точность измерения прочности тканей при переходе от шкалы А Б В - снижается. Это может быть обусловлено нарушением одного из метрологических требований – нельзя использовать результаты, полученные в диапазоне шкалы ниже 20 и выше 80%.
Таблица 3.7.6. Данные оценки характеристик прибора
| Обоз-на- чение |
Показатели | Пояса шкалы РТ-250М и виды пробных поясов | |||||
| А | Б | В | |||||
| основа | уток | основа | уток | основа | уток | ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Пояс шкалы прибора | 0-50 | 0-100 | 0-250 | ||||
| с | Цена одного деления шкалы, кгс | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,5 | 0,5 |
| ТМ | Максимальный показатель точности прибора | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| ТС | Средний класс точности | 2,5 | 2,5 | 2,5 | 2,5 | 2,5 | 2,5 |
| gm | Относительная предельная погрешность, % | 0,21 | 0,21 | 0,42 | 0,42 | 1,0 | 1,0 |
| Качество измерения в соответствии с табл. 6.2 | Очень хорошее | Очень хорошее | Очень хорошее | ||||
| Amin | Минимальное показание прибора, кгс | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Amax | Максимальное показание прибора, кгс | 50 | 50 | 100 | 100 | 250 | 250 |
| Ac | Среднее значение показаний прибора, кгс | 25 | 25 | 50 | 50 | 125 | 125 |
| g П | Ошибка измерения прибора, % | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0,4 |
| S a | Чувствительность прибора | 10 | 10 | 5 | 5 | 2 | 2 |
| Т | Показатель точности | 4,8 | 4,8 | 2,38 | 2,38 | 0 | 0 |
| w | Общая погрешность измерения, % | 0,40 | 0,64 | 2,749 | 1,13 | 1,05 | 1,18 |
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 480; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!