Неперервні випадкові величини
Неперервною називається випадкова величина, що може приймати будь-які значення з деякого проміжку. Інтегральна функція неперервної випадкової величини
є неперервною функцією. Неперервні випадкові величини можна задавати також за допомогою диференціальної функції. Диференціальною функцією або щільністю розподілу (щільністю ймовірностей) називається похідна від інтегральної функції:
(8.3.1)
Властивості диференціальної функції розподілу:
· , (8.3.2)
· , (8.3.3)
· , (8.3.4)
· (8.3.5)
(зв'язок між диференціальною й інтегральною функціями).
Математичним сподіванням неперервної випадкової величини називається невласний інтеграл
, (8.3.6)
де – диференціальна функція. Якщо випадкова величина
, то
.
Дисперсіюнеперервної випадкової величини можна обчислити за формулою:
, (8.3.7)
причому якщо , то
.
Приклад 8.3.1. Інтегральну функцію розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини задано формулою:
|
|
Знайти: а) коефіцієнт с, б) диференціальну функцію , в)
,
,
, г) ймовірність попадання випадкової величини
в інтервал
; д) побудувати графіки функцій
і
.
Розв’язання. а), б) Знайдемо диференціальну функцію за формулою (8.3.1):
Коефіцієнт с визначаємо з умови (8.3.3), тобто
, значить,
, отже інтегральна і диференціальна функції набувають вигляду:
,
.
в) Знайдемо математичне сподівання випадкової величини та випадкової величини
за формулою (8.3.6):
.
Тоді дисперсія за формулою (8.2.9) , середнє квадратичне відхилення за (8.2.14):
.
г) ймовірність попадання випадкової величини в інтервал
знайдемо за допомогою інтегральної функції й формули (8.2.4):
.
Цю ж ймовірність можна обчислити за допомогою диференціальної функції й формули (8.3.4): .
д) графіки диференціальної й інтегральної функції мають вигляд:
Рис. 8.3.1 – Графік диференціальної функції
Рис. 8.3.2 – Графік інтегральної функції розподілу
Література: [1, с. 526 ‑ 529], [4, с. 529 – 559], [16], [18], [20].
Біноміальний та пуассонів закони розподілу
Біноміальним називається розподіл імовірностей дискретної випадкової величини за формулою Бернуллі. Для такої випадкової величини
|
|
,
,
. (8.4.1)
Приклад 8.4.1 Знайти математичне сподівання й дисперсію випадкової величини – числа людей, які можуть звернутися до консультанта (з приклада 8.2.1)
Розв’язання. Безпосередній підрахунок числових характеристик цієї випадкової величини, що є біноміально розподіленою, було виконано у прикладі 8.2.1 З іншого боку, ,
, і тому згідно (8.4.1):
,
.
Розподілом Пуассона називається розподіл імовірностей дискретної випадкової величини за формулою Пуассона. Для такої випадкової величини
,
(де
). (8.4.2)
Закон Пуассона називають також законом рідких подій, він апроксимує біноміальний розподіл при досить великих і малих
.
Приклад 8.4.2. Прилад містить 2500 мікроелементів, які працюють незалежно друг від друга. Імовірність того, що мікроелемент вийде з ладу під час роботи приладу, дорівнює 0,003. Знайти математичне сподівання, дисперсію й середнє квадратичне відхилення випадкової величини – числа мікроелементів, які вийдуть із ладу під час роботи приладу.
Розв’язання. Випадкова величина розподілена за законом Пуассона з параметром
. Обчислимо її числові характеристики: згідно (8.4.2)
, і за формулою (8.2.14)
.
|
|
Література: [4, с. 563 – 564], [16], [18], [20].
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 257; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!