НЕВИЗНАЧЕНИЙ І ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ

Основні методи інтегрування

Інтегрування є зворотною задачею диференціювання. Функція називається первісною для функції на інтервалі , якщо для будь-якого виконується рівність . Множина всіх первіснихфункції називається невизначеним інтегралом: , де ‑ довільна стала.

Таблиця основних і нтеграл і в :

1)	1 0)
2)	1 1)
3)	1 2)
4)	1 2)
5)	1 3)
6)	1 3)
7)	1 4)
8)	1 4)
9)	1 5)

Основні властивості невизначеного та

визначеного інтеграл і в:

· , (3.1.1)

· , (3.1.2)

· (3.1.3)

якщо , ‑ сталі;

· , (3.1.4)

· інваріантність формул інтегрування:

якщо , то , (3.1.5)

де – довільна диференційована функція;

· , ; (3.1.6)

· (де ). (3.1.7)

Для обчислення визначених інтегралів спочатку знаходять невизначений інтеграл (або первісну), а потім користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

, (3.1.8)

де ‑ первісна для неперервної функції .

Метод безпосереднього інтегрування базується на прямому використанні основних властивостей невизначеного інтеграла та проведенні тотожних перетворень підінтегральної функції з метою одержання табличних інтегралів або їх суми.

Метод заміни змінної (підстановки) застосовується, коли в підінтегральному виразі є функція й її диференціал :

, (3.1.9)

де – нова змінна, , неперервні функції.

Користуючись формулою заміни у визначеному інтегралі, на відміну від невизначеного, не треба повертатись до попередньої змінної.

, (3.1.10)

де – нова змінна, і – нові межі інтегрування, неперервна на відрізку , неперервна на .

В формулах інтегрування частинами

, (3.1.11)

(3.1.12)

(де мають неперервну похідну) ліва частина є компактним записом шуканого інтеграла, а права – шляху його відшукання.

Щоб обчислити інтеграли , , , в якості доцільно позначати многочлен , а - вирази - , , , .

Щоб знайти інтеграли , , в якості береться , а - функції , , .

За необхідності інтегрування частинами проводиться кілька разів. Наприклад, для інтеграла дворазове інтегрування частинами (зі збереженням вибору ) призводить до повернення до шуканого інтеграла (і дозволяє таким чином його виразити).

Інтегрування добутків тригонометричних функцій , , (де – числа) здійснюється шляхом попереднього їх перетворення в алгебраїчні суми за допомогою формул:

; ; .

Приклад 3.1.1. Знайти методом безпосереднього інтегрування невизначені та визначені інтеграли: 1) , 2) , 3)

Розв’язання. 1) Для обчислення інтеграла віднімемо і додамо в чисельнику число 9 та застосуємо властивості (3.1.1), (3.1.2) та табличні інтеграли 1) та 13) :

2) Підносячи вираз в дужках до другого степеня, а потім інтегруючи кожний доданок, згідно (3.1.2) маємо:

Зауважимо, що , , тому інтеграли від цих функцій обчислюються за формулою 2) таблиці інтегралів.

3) Застосуємо властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 3):

Почленним діленням інтеграл звівся до табличних 6) і 9) з урахуванням властивості (3.1.3) .

Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличнго інтеграла 4), а також табличний інтеграл 1) та формулу Ньютона-Лейбніца (3.1.8).

Приклад 3.1.2. Знайти методом заміни змінної (підстановки) невизначені та визначені інтеграли: 1) 3) , 4) 5) .

Розв’язання. 1) Нехай В підінтегральному виразі маємо функцію і її диференціал (нагадаємо, що ). Роблячи заміну , знаходимо . Будемо мати . Повертаючись до попередньої змінної, остаточно знайдемо

Розв’язок можна оформити таким чином:

Можна також використовувати і такий запис:

. Тут заміняючи змінну у визначеному інтегралі, знайшли нові межі інтегрування: та . Для цього обчислили значення нової змінної при та (це попередні межі інтегрування). Можна також використовувати і такий запис:

Приклад 3.1.3. Знайти інтегруванням частинами невизначені та визначені інтеграли: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Розв’язання. 1)

В цьому випадку в якості беремо , бо маємо добуток виду . Щоб інтеграл прийняв вид , позначимо . Щоб скористатися формулою інтегрування частинами (3.1.11) треба знайти і , тому рівняння продиференцюємо, а в рівнянні знайдемо первісну (скористаємось також властивістю (3.1.3) інтеграла).

. В даному випадку підінтегральна функція має вид , а тому в якості слід обрати .

. Тут застосовано формулу інтегрування частинами (3.1.11) для визначеного інтеграла.

. Формулу (3.1.11) тут довелося використати двічі.

Приклад 3.1.4. Знайти інтеграли від раціональної або ірраціональної функції шляхом виділення повного квадрату у знаменнику: 1) , 2) , 3) , 4)

Розв’язання. 1)

Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 12) .

. Тут застосовано формулу (3.1.3) до табличного інтеграла 13) .

3) Тут застосовано властивість (3.1.3) до табличного інтеграла 15) .

4) Тут застосовано формулу (3.1.3) до табличного інтеграла 14) .

Приклад 3.1.5. Знайти способом перетворення добутків тригонометричних функцій у суми інтеграли: 1) , 2) .

Розв’язання. За допомогою тригонометричних формул маємо:

1) .

2) .

Зауважимо, що приклади 3.1.1 – 3.1.5 відповідають завданню 3.1 контрольної роботи.

Література: [1, с. 211 ‑ 252], [2, с. 308 ‑ 338], [3, с. 444 – 479, 509 ‑ 513], [11].

Невласні інтеграли

Інтеграли з нескінченними межами інтегрування й інтеграли від розривних функцій називаються невласними. Невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею функції (неперервної при ):

. (3.2.1)

Якщо ця границя існує і є скінченною, то невласний інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку - розбіжним. Аналогічно визначається невласний інтеграл із нескінченною нижньою межею,

, (3.2.2)

а також із двома нескінченними межами:

. (3.2.3)

Якщо неперервна при і , то