Застосування визначених інтегралів
Інтеграли 
(робота змінної сили 
на відрізку 
), 
(маса лінійного стержня з неоднорідною густиною 
на відрізку ) і 
(довжина шляху, який пройшла матеріальна точка, що рухалась прямолінійно із змінною швидкістю 
впродовж часу 
) виражають різні аспекти фізичного змісту визначеного інтеграла.
Площа фігури, обмеженої знизу і зверху двома неперервними кривими 
і 
( 
), а зліва і справа – відповідно прямими 
, 
, обчислюється за формулою:
. (3.3.1)
Для однорідної (з постійною густиною маси) криволінійної трапеції ‑ фігури, обмеженої неперервною кривою 
, віссю 
та двома прямими 
і 
, координати центра маси:
, 
, (3.3.2)
де 
– площа криволінійної трапеції.
При обертанні цієї криволінійної трапеції навколо вісі отримаємо тіло, об'єм якого
. (3.3.3)
Приклад 3.3.1. За допомогою інтегрального числення для обмеженої лініями 
плоскої фігури 
: а) обчислити площу, б) знайти координати центра ваги, якщо густина маси 
, в) обчислити об’єм тіла, що утворюється при обертанні фігури навколо вісі 
.
Розв’язання.
 |
Криволінійна трапеція
обмежена зверху – параболою 
, знизу ‑ віссю 
та проектується на відрізок 
осі 
.
Рис. 3.3.1 ‑ Криволінійна трапеція 
а) Площа згідно (3.3.1): 
(кв. од.),
б) Координати центра мас за формулами (3.3.2): 
, 
в) Об’єм тіла обертання згідно (3.3.3): 
(куб. од.)
|
|
|
Зауважимо, що приклад 3.3.1 відповідає завданню 3.3 контрольної роботи.
Література: [1, с. 256 ‑ 272], [2, с. 339 ‑ 365], [3, с. 577 – 581], [11].
МОДУЛЬ 4
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів
Рівняння, в яких є незалежні змінні, невідома функція однієї змінної і її похідні (або диференціали), називається звичайним диференціальним. Порядок диференціального рівняння – це порядок найвищої похідної. Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд: 
, або 
, другого порядку: 
, або 
. Розв’язком диференціального рівняння на інтервалі 
називається диференційовна на цьому інтервалі функція 
, яка перетворює це рівняння на тотожність при всіх 
. Відповідно інтеграл – це розв’язок у неявному вигляді. Загальний розв’язок рівняння n-го порядку містить п довільних незалежних постійних.
Диференціальне рівняння
, (4.1.1)
або
(4.1.2)
називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Після відокремлення змінних (ураховуючи, що 
), тобто отримання рівняння 
(або 
) залишається здійснити інтегрування кожної частини за відповідною змінною. Одержимо загальний інтеграл 
, (або 
).
|
|
|
Однорідне диференціальне рівняння першого порядку
(4.1.3)
можна привести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки
, або 
, 
. (4.1.4)
Лінійне рівняння має вигляд
, (4.1.5)
причому якщо 
, то лінійне рівняння є однорідним, у протилежному випадку – неоднорідним. Розв’язання лінійного неоднорідного рівняння зводиться до розв’язання двох рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою заміни:
, (4.1.6)
де 
– допоміжні функції. Тоді 
, і вихідне рівняння набуває виду: 
. Одну із допоміжних функцій, наприклад 
, можна обрати довільно, припустимо такою, щоб вираз в квадратних дужках дорівнював нулеві. Тоді матимемо два рівняння: 
і 
. Підстановка частинного розв’язку першого рівняння 
дозволяє знайти загального розв’язок 
другого рівняння з відокремлюваними змінними. Після чого можна записати загальний розв’язок вихідного рівняння: 
.
Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вид:
, (4.1.7)
|
|
|
де 
і 
– числа, 
‑ функція. Структура загального розв’язку цього рівняння залежить від характеру коренів 
характеристичного рівняння 
.
v Якщо корені різні 
і дійсні (характеристичне рівняння має дискримінант 
), то
, (4.1.8)
де 
– довільні сталі.
v Якщо корені характеристичного рівняння рівні 
і дійсні ( 
), то
. (4.1.9)
v Якщо 
, то корені 
характеристичного рівняння є комплексно-спряженими (дивись розділ 7 та приклад 7.1.7) числами 
, і тоді
. (4.1.10)
Приклад 4.1.1. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1) 
, 2) 
.
Розв’язання. 1) З рівняння 
виразимо похідну: 
. Таким чином, це диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними (4.1.2) (у даному випадку 
, 
). Враховуючи, що 
, відокремимо змінні: 
. Тепер можна інтегрувати: 
, 
(бо 
). Отримаємо: 
‑ загальний інтеграл диференціального рівняння. Записуючи довільну постійну у вигляді 
, маємо: 
, 
, тобто 
‑ загальний розв'язок.
2) Рівняння 
є рівнянням з відокремлюваними змінними (4.1.1) (у даному випадку 
, 
, 
, 
). Відокремимо змінні: 
. Тепер можна інтегрувати: 
, 
, 
(бо 
, 
). Отримаємо: 
, 
, отже 
‑ загальний інтеграл.
|
|
|
Приклад 4.1.2. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1) 
, 2) 
.
Розв’язання. 1) Бачимо, що 
є функцією відношення 
, тобто рівняння 
є однорідним (має вид (4.1.3)). Вводимо нову функцію 
, тоді 
і 
. Вихідне рівняння перетворюється в рівняння з відокремлюваними змінними: 
, або 
, 
, звідки 
. Змінні відокремлено, отже можна інтегрувати: 
, 
. Значить, 
. Отже, 
‑ загальний розв'язок.
2) Виразимо похідну 
, тоді рівняння матиме вигляд: 
, а після ділення чисельника і знаменника правої частини на 
матимемо:
. (4.1.11)
Бачимо, що 
є функцією відношення , тобто дане рівняння – однорідне. Вводимо нову функцію 
, тоді 
і 
. Рівняння (4.1.11) перетворюється на рівняння з відокремлюваними змінними: 
, або 
, 
, звідки 
, 
. Після інтегрування кожної частини за своєю змінною одержимо: 
, або 
, звідки 
. Якщо замінити в останній рівності 
відношенням , то остаточно знаходимо загальний інтеграл вихідного рівняння: 
.
Приклад 4.1.3. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1) 
, 2) 
.
Розв’язання. 1) Диференціальне рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням (4.1.5) (у даному випадку 
, 
). Покладаємо 
, тоді 
. Підставляємо 
та 
у вихідне рівняння: 
. Після групування маємо: 
. Обираємо функцію 
так, щоб вираз у дужках дорівнював нулеві. Дістанемо два рівняння з відокремлюваними змінними: 
і 
, або 
і 
. Проінтегруємо: 
, 
. Значить, 
‑ частинний розв’язок (при 
) першого рівняння. Підставляємо знайдену функцію у друге рівняння: 
, звідки 
. Інтегруючи, знайдемо функцію 
: 
, 
, 
‑ загальний розв’язок другого рівняння. Отже, 
, і 
‑ загальний розв’язок лінійного рівняння.
2) Диференціальне рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням (4.1.5) (у даному випадку 
, 
). Покладаємо 
, тоді і дане рівняння набуває виду: 
. Обираємо функцію так, щоб вираз у дужках дорівнював нулеві. Дістанемо два рівняння з відокремлюваними змінними: 
і 
. Знаходимо частинний розв’язок першого рівняння: 
, 
, 
. Підстановка знайденої функції у друге рівняння приводить до рівняння: 
, звідки 
, або 
. Інтегрування останнього дає 
. Тоді шуканий загальний розв’язок вихідного рівняння: 
, тобто 
.
Приклад 4.1.4. Знайти загальний розв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами: 1) 
, 2) 
, 3) 
.
Розв’язання. 1) Запишемо характеристичне рівняння: 
. Тоді 
, і 
, отже 
, 
‑ дійсні різні корені характеристичного рівняння. Значить, згідно (4.1.8) 
‑ загальний розв’язок диференціального рівняння ( 
– довільні сталі).
2) Запишемо характеристичне рівняння: 
, або 
. Тоді 
( 
), і таким чином за (4.1.9) 
‑ загальний розв’язок диференціального рівняння ( – довільні сталі).
3) Характеристичне рівняння: 
. Тоді 
, 
і 
‑ комплексно-спряжені корені характеристичного рівняння ( 
). Значить, за (4.1.10) 
‑ загальний розв’язок диференціального рівняння ( 
– довільні сталі).
Зауважимо, що приклади 4.1.1 – 4.1.4 відповідають завданню 4.1 контрольної роботи.
Література: [1, с. 407 ‑ 457], [2, с. 501 ‑ 580], [4, с. 5 – 121], [12].
МОДУЛЬ 5
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!