КРАТНІ, КРИВОЛІНІЙНІ ТА ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ

Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування

Основні види простих областей інтегрування на площині:

· Область інтегрування є стандартною відносно вісі . Вона обмежена зліва і справа прямими і , а знизу і зверху – неперервними кривими і , кожна з яких перетинається вертикальною прямою (для будь-якого ), лише в одній точці.

Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою:

, (5.1.1)

причому спочатку обчислюється за змінною “внутрішній” інтеграл , в якому вважається сталим.

· Область інтегрування є стандартною відносно вісі . Вона обмежена знизу і зверху прямими і , а справа а зліва – відповідно неперервними кривими і , кожна із яких перетинається довільною горизонтальною прямою (для будь-якого ) лише в одній точці.

Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою:

, (5.1.2)

причому спочатку обчислюється за змінною “внутрішній” інтеграл , в якому вважається сталим.

Праві частини формул (5.1.1), (5.1.2) називаються двократними, або повторними інтегралами. Таким чином, подвійний інтеграл обчислюється за допомогою зведення його до повторного інтеграла. Якщо область не є стандартною, то як часто трапляється, її можна представити у вигляді об’єднання стандартних множин.

Перетворення подвійного інтеграла в прямокутних декартових координатах до інтеграла в полярних координатах , , які пов’язані з прямокутними координатами співвідношеннями

, , (5.1.3)

здійснюється за формулою:

. (5.1.4)

Якщо область обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути і , і кривими і , то відповідні полярні координати змінюються в межах області , і тоді

. (5.1.5)

Приклад 5.1.1. Обчислити інтеграл , де ‑ чверть круга , що лежить в першій координатній чверті .

Розв’язання. У відповідності з формулами (5.1.4), (5.1.5):

Площа плоскої фігури виражається формулою

. (5.1.6)

Об’єм циліндричного тіла (обмеженого зверху неперервною поверхнею , знизу – площиною і з боків – циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі ), що вирізає на площині область , обчислюється за формулою:

. (5.1.7)

Якщо пластинка займає область площини і має змінну поверхневу густину , то маса пластинки виражається подвійним інтегралом

. (5.1.8)

Координати центра мас обчислюються за формулами:

, , (5.1.9)

де , .

Якщо область інтегрування визначається нерівностями , , , де , , , – неперервні функції, то потрійний інтеграл від функції по області , обчислюється за формулою:

. (5.1.10)

Об’єм просторового тіла, що займає область , визначається за формулою:

. (5.1.11)

Якщо – деяка область простору, яку займає матеріальне тіло з густиною , то маса тіла визначається формулою:

. (5.1.12)

Приклад 5.1.2. Для фігури , що обмежена лініями, вказаними в прикладі 3.3.1: а) записати подвійний інтеграл ( ‑ неперервна функція в ) у вигляді повторного інтеграла та змінити порядок інтегрування; б) знайти масу пластини , якщо густина маси ; в) обчислити об’єм циліндричного тіла , обмеженого зверху площиною , знизу – площиною і з боків – прямою циліндричною поверхнею, що вирізає на площині область ; г) знайти масу циліндричного тіла , якщо густина маси .

Розв’язання. а) Криволінійна трапеція (див. рис. 3.3.1) обмежена зверху – параболою , знизу ‑ віссю та проектується на відрізок осі . Значить, є стандартною відносно вісі .

З іншого боку, обмежена зліва – віткою параболи , справа – віткою параболи та проектується на відрізок осі . Таким чином, є стандартною відносно вісі .

Отже, запишемо подвійний інтеграл у вигляді обох повторних за формулами (5.1.1), (5.1.2):

б) Знайдемо масу пластини за формулою (5.1.8) (де густина маси ): . Спочатку обчислимо за змінною “внутрішній” інтеграл, в якому вважається сталим:

Тоді .

в) Об’єм циліндричного тіла (обмеженого зверху площиною ) згідно (5.1.7): . “Внутрішній” інтеграл

Значить, (куб. од.)

г) Знайдемо масу циліндричного тіла за формулою (5.1.12):

Зауважимо, що приклад 5.1.2 відповідає завданню 5.1 контрольної роботи.

Література: [1, с. 470 ‑ 492], [2, с. 581 ‑ 616], [3, с. 494 – 499], [13].

Криволінійні інтеграли

Для обчислення криволінійних інтегралів по координатах (інтегралів другого роду), тобто інтегралів виду

, (5.2.1)

використовується одна із формул:

· якщо крива задана рівнянням виду і при переміщенні із точки цієї кривої в точку змінюється від до , то

; (5.2.2)

· якщо крива задана параметрично, тобто системою рівнянь , і при переміщенні із точки в точку параметр змінюється від до , то

. (5.2.3)

В процесі обчислення криволінійних інтегралів по довжині дуги (інтегралів першого роду) користуються однією із формул:

· якщо крива задана рівнянням виду , то ,

. (5.2.4)

· якщо крива задана параметрично, тобто системою , де , то , і

. (5.2.5)

Значення криволінійного інтеграла другого роду при зміні напряму руху вздовж кривої змінюється на протилежне, а інтеграл першого роду не залежить від напряму.

Криволінійні інтеграли у просторі визначаються аналогічно.

Приклад 5.2.1. Обчислити криволінійні інтеграли: 1) , де – дуга параболи , що пробігається від точки до точки ; 2) , де – відрізок прямої, що з’єднує точки О(0; 0) і А(1; 2); 3) , де – дуга кривої, заданої параметрично: , , .

Розв’язання. 1) В цей інтеграл другого роду підставимо , , і врахуємо, що змінюється від –1 до 1 при русі з точки до точки . Тоді згідно (5.2.2) маємо:

2) Рівняння прямої, що з’єднує точки О(0; 0) і А(1; 2), має вид , змінюється від 0 до 1 при русі від точки О до точки А, . Значить, інтеграл першого роду дорівнює згідно (5.2.4): .

Значить, інтеграл першого роду дорівнює згідно (5.2.5):

Зауважимо, що приклад 5.2.1 відповідає завданню 5.2 контрольної роботи.

Література: [1, с. 458 ‑ 467], [2, с. 617 ‑ 625], [3, с. 499 – 502], [14].

МОДУЛЬ 6

ЧИСЛОВІ І СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

Числові ряди

Числовий ряд

(6.1.1)

збігається (має суму ), якщо

, (6.1.2)

( – послідовність часткових сум).

Для всіх збіжних і деяких розбіжних рядів виконується необхідна умова збіжності (достатня ознака розбіжності):

. (6.1.3)

Якщо (необхідна умова не виконується), то такий ряд обов’язково розбігається. Якщо ж , то ряд може як збігатися, так і розбігатися.

В науці і практиці часто потрібне знання не суми ряду, а лише факту збіжності ряду (або його розбіжності). Для цього застосовуються достатні ознаки збіжності.

Ознака порівняння: якщо (починаючи з деякого номера ) для двох рядів виконується , то

· якщо збігається ряд з загальним членом , то збігається ряд з загальним членом ;

· якщо розбігається ряд з загальним членом , то розбігається ряд з загальним членом .

Гранична ознака порівняння: якщо для знакододатних рядів і виконується умова

, (6.1.4)

то обидва ряди збігаються або розбігаються одночасно.

При застосуванні ознак порівняння використовують “еталонні” ряди, умови збіжності або розбіжності яких відомі, наприклад, так званий узагальнений гармонійний ряд (де р – число).

Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує

(6.1.5)

(границя відношення наступного члена до попереднього), то

· якщо , то ряд збігається;

· якщо , то ряд розбігається;

· якщо , то про збіжність (розбіжність) ряду нічого сказати не можна (слід скористатися іншими ознаками збіжності рядів).

Цю ознаку рекомендується використовувати, якщо загальний член досліджуваного ряду містить показникові або факторіальні елементи відносно номера .

Радикальна ознака Коші. Якщо для ряду, загальний член якого , існує

, (6.1.6)

То

· якщо , то ряд збігається;

· якщо , то ряд розбігається;

Дану ознаку рекомендується застосовувати, якщо загальний член ряду є показниково-степеневою функцією відносно .

Інтегральна ознака Коші. Якщо функція ‑ неперервна, є незростаючою і при (де ), то ряд збігається або розбігається одночасно з невласним інтегралом .

Умовам цієї ознаки до функції задовольняє узагальнений гармонійний ряд . Через те, що невласний інтеграл = ,

то ряд збігається при , і розбігається при .

Збіжність знакопереміжних числових рядів досліджують за ознакою Лейбніца. Якщо

· розпочинаючи з деякого номера, члени ряду, взяті за абсолютним значенням, зменшуються при зростанні їх номера ;

· ,

то ряд збігається.

Приклад 6.1.1. Дослідити на збіжність числові ряди: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

Розв’язання. 1) Обчислимо границю загального члена ряду: . Ряд розбігається, бо необхідна умова збіжності (6.1.3) не виконується.

2) Границя загального члена ряду не існує, тобто необхідна умова збіжності (6.1.3) не виконується. Значить, ряд розбігається.

3) Ряд є знакододатним, бо загальний член ряду (факторіал , див. також розділ 8). Наступний член , відношення наступного члена до попереднього . Тоді границя (6.1.5): . Отже, ряд розбігається за ознакою Даламбера.

4) Загальний член ряду . Значить, , і границя (6.1.6): . Отже ряд збігається за радикальною ознакою Коші.

5) Порівняємо ряд із гармонійним рядом . ; , тоді границя (6.1.4): . Отже, за граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд розбігається, оскільки гармонійний ряд розбігається за інтегральною ознакою Коші. (Можна було застосувати інтегральну ознаку Коші зразу до вихідного ряду).

6) Ряд є знакопереміжним. Оскільки , , то і . Отже, досліджуваний ряд збігається за ознакою Лейбніца.

Література: [1, с. 362 ‑ 376], [2, с. 659 ‑ 673], [4, с. 214 – 246], [15].

Степеневі ряди

Степеневий ряд

(6.2.1)

( , ‑ задані числа) збігається при , де ‑ центр інтервалу (в цій точці ряд набуває вигляду , отже завжди збігається), а ‑ радіус збіжності . Для знаходження інтервалу збіжності степеневого ряду можна застосовувати ознаку Даламбера, або радикальну ознаку Коші до знакододатного ряду . Наприклад, застосовуючи ознаку Даламбера до цього ряду, отримаємо умову для визначення інтервалу збіжності степеневого ряду (6.2.1):

. (6.2.2)

Розв’язуючи цю нерівність відносно , знаходимо інтервал збіжності . Множина збіжності або співпадає з цим інтервалом, або є одним із проміжків , , . Якщо степеневий ряд збіжний лише при , то його радіус збіжності . Якщо ряд збіжний при будь-якому , то .

Степеневі ряди є узагальненням багаточленів і широко застосовуються в науці. Це пов’язано з можливістю представлення багатьох функцій, зокрема всіх елементарних функцій у вигляді сум степеневих рядів, що називаються рядами Тейлора (Маклорена, якщо ). Наприклад,

, (6.2.3)

, . (6.2.4)

За допомогою розкладу функцій в ряд Тейлора можна з будь-якою точністю обчислити значення функцій, інтегралів, границь і т.д. Саме на цьому грунтуються всі обчислення, що виконуються компьютерами з елементарними та спеціальними функціями.

Приклад 6.2.1. Знайти множину збіжності степеневих рядів: 1) , 2) , 3) .

Розв’язання. 1) Тут , ‑ центр інтервалу збіжності. Оскільки , , то (при ) . Значить, за ознакою Даламбера ряд збігається, якщо . Тобто, якщо , або , то степеневий ряд збігається. До того ж за ознакою Даламбера якщо , то ряд розбігається. Залишилось дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу (там, де ).

При маємо знакододатний ряд , який збігається за інтегральною ознакою Коші. При маємо знакопереміжний ряд , який збігається за ознакою Лейбніца. Таким чином, множина збіжності ряду являє собою відрізок . Тобто ряд збігається, якщо , і розбігається, якщо . (Радіус збіжності ).