Непрерывные случайные величины.
Функция распределения и плотность распределения вероятностей
Наряду с дискретными случайными величинами, принимающими конечное или счетное множество значений в теории вероятностей широко используются непрерывные случайные величины. Множество непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток.
Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция 
такая, что для каждого хфункцию распределения непрерывной случайной величины Хможно представить в виде
.
Свойства функции распределения непрерывной случайной величины
1. 
т.е. 
;
2. 
есть непрерывная, неубывающая функция;
3. 
.
Определение. Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется первая производная от функции распределения:
.
Свойства плотности
1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. 
.
2. Несобственный интеграл от плотности распределения по всей числовой прямой равен единице: 
.
Непрерывная случайная величина считается заданной, если задана ее функция распределения или плотность распределения вероятностей. При этом функция распределения называется интегральным законом, а плотность распределения – дифференциальным законом распределения.
Вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала 
находится по формуле:
.
Примечание.Интервал для возможных значений непрерывной случайной величины Х может быть и замкнутым, т.е.
|
|
|
.
Пример 1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
.
Найти плотность распределения непрерывной случайной величины Хи построить графики функции распределения и плотности распределения. Определить вероятность того, что Х попадет в интервал 
.
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
.
Графики функции распределения и плотности распределения представлены на рисунках 4 и 5.
Рис. 4 Рис. 5
Вероятность того, что Х попадает в интервал , найдем по формуле:
.
Пример 2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
.
Найти коэффициент А, функцию распределения непрерывной случайной величины и вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу 
.
Решение. Для нахождения константы А воспользуемся свойством плотности .
Тогда для заданной непрерывной случайной величины Х:
.
Получаем 
, а плотность распределения имеет вид:
.
Для отыскания функции распределения воспользуемся формулой:
.
Если 
, то 
, следовательно 
.
|
|
|
Если 
, то 
и
.
Если 
, то и
.
Итак, искомая функция распределения:
.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , найдем по формуле:
Среди непрерывных случайных величин наиболее распространены случайные величины, подчиняющиеся нормальному, равномерному и показательному законам.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 222; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!