Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий
, связанную с некоторым опытом. Предположим, что в этом опыте осуществление каждого из событий 
равновозможно, т.е. нет никаких объективных оснований считать, что одно из событий является более возможным, чем другое. Такой опыт будем называть опытом с равновероятными исходами. В этом случае будем говорить, что события 
равновероятныи что вероятность каждого события равна 
: 
(«Р» - первая буква англ. слова «probabiliti» - вероятность).
Пример 1. Опыт: подбрасывание игральной кости.
Пусть 
событие, состоящее в том, что кость выпала с цифрой i.
Мы уже знаем, что 
образуют полную группу попарно несовместных событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, следовательно, все исходы опыта равновозможны.
.
Определение. События , образующие полную группу попарно несовместных и равновероятных событий, будем называть элементарными событиями.
Пример 2. Монета бросается дважды. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб?
Решение. Элементарные события: 
оба раза выпал герб; 
герб выпал при первом подбрасывании; 
герб выпал только при втором подбрасывании; 
герб не появился ни разу.
Итого 
. Благоприятствовать выпадению герба будут 
, следовательно, 
.
Пример 3. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и помнил лишь, что они различные. Набрал их наудачу. Каков вероятность того, что номер набран правильно?
Решение. Две последние цифры можно набрать 
способами, а благоприятствовать событию А будет только 1 способ (правильно набрать и дозвониться). 
.
|
|
|
Пример 4. Среди 100 ламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?
Решение. 
.
Основные теоремы теории вероятностей и их следствия
Определение. Событие А называется независимымот события В, если вероятность события Ане зависит от того, произошло событие В или нет.
Определение. Событие А называется зависимымот события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие Вили нет.
Пример 1. Опыт: два студента сдают зачет по высшей математике. Событие А – I отвечает на два вопроса и сдает зачет; событие В – II отвечает на два вопроса и сдает зачет.
В данном случае 
не зависит от того, произошло событие В или нет, следовательно, А не зависит от В.
Пример 2. Двое туристов обращаются в турагентство для покупки путевки. В агентстве имеются две путевки на Канарские острова; одна путевка на Багамские острова.
А – I турист покупает путевку на Канарские острова; В – II турист покупает путевку на Канарские острова.
Если событие Ане произошло, то 
. Если стало известно, что событие А произошло, то 
, из чего замечаем, что событие В зависит от события А.
|
|
|
Определение. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностьюсобытия А и обозначается 
.
Для последнего примера 2 
.
Тогда можно дать другое определение независимости событий:
Определение. Событие А называется независимымот события В, если 
.
Определение. Событие Аназывается зависимым от события В, если 
.
Теорема 1(теорема умножения вероятностей). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
.
Доказательство. Пусть есть опыт, и возможные исходы опыта сводятся к п случаям, которые мы для наглядности изобразим в виде п точек (рис. 1).
Рис. 1
Предположим, что событию А благоприятны тслучаев, а событию В благоприятны kслучаев. Т.к. не предполагается, что А и В несовместны, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А и событию Водновременно. Пусть число таких случаев 
. Тогда 
.
Вычислим 
, т.е. условную вероятность события В в предположении, что А произошло.
Если известно, что А произошло, то из ранее возможных п случаев остаются возможными только те т, которые благоприятствуют событию А. Из них случаев благоприятствуют и событию В. Следовательно,
|
|
|
.
Итак, 
; 
. Теорема доказана.
В частности:
Лемма. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого следующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие события уже наступили:
Для независимых событий: 
.
Пример 3. Какова вероятность вынуть из колоды в 36 карт последовательно (без возвращения) 2 карты – туза и короля?
Решение. Рассмотрим 2 события: А– первая вынимаемая карта – туз; В– вторая вынимаемая карта – король; 
вынуты первая карта – туз и вторая карта – король.
. Если событие А произошло, то 
. Тогда
.
Теорема 2. (сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: 
.
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.
Следствие 2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
|
|
|
.
Пример 4. На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них 3 книги по теории вероятностей, 3 – по математическому анализу и 4 – по линейной алгебре. Студент достает 1 книгу. Какова вероятность, что он возьмет книгу по теории вероятностей или по линейной алгебре?
Решение. А – студент взял книгу по теории вероятностей; В– он взял книгу по линейной алгебре?
; 
.
Ответ: 0,7.
Теорема 3.(сложения совместных событий). Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 2096; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!