Свойства функции распределения дискретной случайной величины
1. 
неотрицательная ступенчатая функция (имеет точки разрыва);
2. неубывающая функция своего аргумента, т.е. при 
;
3. а) на 
;
б) на 
;
4. 
;
5. 
.
Определение. Модой 
дискретной случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение.
Пример 2. На соревнованиях по стрельбе каждому спортсмену предоставляется 3 выстрела и дается за каждое попадание 5 очков. Составить закон распределения числа набранных очков стрелком, вероятность поражения цели которым равна 0,8. Найти моду случайной величины.
Решение. Обозначим случайную величину Х – число набранных очков стрелком.
Все возможные значения случайной величины Х:
0 – если не попал в мишень ни разу;
5 – если попал один раз;
10 – если попал 2 раза;
15 – если попал 3 раза.
Случайная величина Х – случайная дискретная, подчиняется биномиальному закону распределения, так как происходит серия из трех независимых выстрелов. Поэтому вероятность того, что стрелок наберет 0 очков 
равна вероятности следующего события: стрелок стрелял 3 раза и все 3 раза промахнулся.
Так как вероятность попадания 
, то 
.
Итак, 
.
Событие 
означает, что стрелок стрелял 3 раза, а попал только 1 раз, тогда 
.
Аналогично,
.
Получим закон распределения числа набранных очков
 Х
| 0 | 5 | 10 | 15 |  , т.к. вероятность
|
| Р | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 | этого значения максимальна 
|
Примечание. Так в таблице указаны все возможные значения дискретной случайной величины Х – 0, 5, 10, 15, а значит события «0», «5», «10», «15» образуют полную группу, то одно из значений 
или 
можно было найти из условия 
. Например,
.
Пример 3. Дискретная случайная величина Хзадана законом распределения:
| Х | 
| 8 | 25 |
| р | 0,1 | 
| 0,4 |
Определить и составить функцию распределения дискретной случайной величины Х.
Решение.
1) 
; 
.
2) Найдем 
. Значения случайной величины Х 
разбивают всю числовую прямую на 4 непересекающихся интервала:
Для каждого из этих интервалов найдем значение 
по правилу 
:
а) 
б) 
;
в) 
г) 
.
Итак, 
и ее график на рис. 3.
Рис. 3
Числовые характеристики случайных величин
Определение. Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называется сумма вида
(1)
где 
возможные значения дискретной случайной величины;
вероятность появления значения 
.
Свойства математического ожидания
1. 
где С– произвольная постоянная величина.
2. 
, если 
взаимно независимые случайные величины.
3. 
.
4. 
, где Х– дискретная случайная величина; п – число испытаний с биномиальным законом распределения; р – вероятность появления события в одном испытании.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.
Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсиейслучайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Дисперсию целесообразно вычислять по формуле:
(2)
Свойства дисперсии
1. 
, где С– произвольная постоянная.
2. 
, где 
независимые случайные величины.
3. 
, где Х – дискретная случайная величина с биномиальным законом распределения; п – число испытаний; р, q – вероятность появления и вероятность непоявления события в одном испытании соответственно.
4. 
, где 
среднее квадратическое отклонение.
Пример 1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
| Х | 2 | 4 | 6 | 8 |
| р | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 0 | 1 | 2 | |
| p | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 
.
Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также учитывая, что Х и Y – независимые случайные величины, имеем:
;
.
По формуле (1) вычислим 
и 
:
Тогда 
.
По формуле (2) вычислим 
и 
. Вначале найдем 
и 
: 
Затем определим и 
:
Окончательно получим 
.
Пример 2. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.
Решение. Вначале составим закон распределения случайной величины Х – числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех банок. Вероятность появления события А – куплена банка с продукцией высшего качества – найдем по формуле полной вероятности:
.
Закон распределения случайной величины Хможно определить, используя формулу Бернулли 
.
Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, 3. Закон ее распределения (с учетом того, что 
) примет вид
| Х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| р | 0,004 | 0,066 | 0,337 | 0,593 |
Тогда
.
Пример 3. В туристической группе 10 человек, среди них четверо с медицинским образованием. На преодоление перевала наудачу отобраны трое туристов. Составить закон распределения числа медицинских работников в выбранной группе. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду.
Решение. Обозначим случайную величину Х – число медицинских работников в группе туристов из трех человек, отобранных для преодоления перевала. Тогда возможные значения случайной величины Х – 0,1, 2 и 3, случайная величина дискретна, и законом распределения случайной величины Хбудет являться ее ряд распределений.
Событие 
означает, что в выбранной группе из трех человек нет ни одного медицинского работника, поэтому вероятность такого события
.
Событие 
означает, что в выбранной группе из трех человек только один имеет медицинское образование, а двое его не имеют, следовательно
.
Аналогично, вероятность того, что среди трех выбранных туристов для преодоления перевала будет ровно двое с медицинским образованием, находится следующим образом
.
Тогда 
.
Итак, закон распределения дискретной случайной величины Хпредставляется в виде таблицы
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 
| 
| 
| 
|
Математическое ожидание дискретной случайной величины Хнаходим по формуле:
.
Дисперсия случайной величины равна:
.
Среднее квадратическое отклонение:
.
Так как наибольшее значение вероятности в ряду распределений 
, то модой дискретной случайной величины Х является значение 
случайной величины Х, т.е. 
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 958; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!