Повторение испытаний. Формула Бернулли
При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события Ав результате серии опытов.
Пусть производится п независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А; вероятность появления события А в каждом опыте равна р, а вероятность не появления равна 
. Требуется найти вероятность 
того, что событие Ав этих п опытах появится ровно т раз.
Рассмотрим событие 
, состоящее в том, что событие А появится в опытах траз. Это событие может осуществиться различными способами. Разложим событие на сумму произведений событий, состоящих в появлении или не появлении события А в отдельном опыте. Будем обозначать 
появление события А в i- ом опыте; 
не появление события А в i- ом опыте.
Очевидно, что каждый вариант появления события (каждый член суммы), должен состоять из т появления события А и 
непоявлений, т.е. из тсобытий Аи событий 
с различными индексами.
Таким образом,
,
причем в каждое произведение событие А должно входить т раз, а событие 
должно входить раз.
Число всех таких комбинаций равно 
, т.е. числу способов, какими можно из п опытов выбрать т, в которых произошло событие А. Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения для независимых событий равна 
.
|
|
|
Комбинации между собой несовместны. По теореме сложения вероятность события равна:
.
Полученная формула носит название формулы Бернулли.
Итак, вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна 
. Событие наступит:
· ровно т раз 
;
· менее т раз 
;
· более траз 
;
· не менее траз 
;
· не более траз 
.
Пример. Имеется 5 станций на орбите Земли с которыми поддерживается связь. Из-за атмосферных помех связь с каждой станцией прерывается с вероятностью 0,2 независимо от остальных. Найти вероятность того, что в данный момент времени будет иметься связь а) с двумя станциями; б) более, чем с тремя станциями.
Решение. а) В данный момент времени происходит 5 независимых опытов – проверка связи с каждой из станций.
Событие А – связь со станцией имеется, появится с вероятностью 
, т.е. вероятность прерывания связи со станцией 
(по условию), следовательно, 
.
Вероятность того, что в данный момент времени связь с двумя станциями будет иметься равна по формуле Бернулли:
.
б) Событие, заключающееся в том, что в данный момент времени будет иметься связь более, чем с тремя станциями раскладывается на сумму несовместных событий:
|
|
|
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 239; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!