Антиперестановочность произведения матриц

A*B не равно B*A, Т.е умножение матрицы "Слева" не равно умножению матрицы "Справа" на другую матрицу.

Умножение матрицы на матрицу слева. Умножение матрицы на матрицу справа

В произведения A⋅B матрицу A называют левым множителем для B и говорят об умножении матрицы B на матрицу A слева. Аналогично матрицу B называют правым множителем для A и говорят об умножении матрицы A на матрицу B справа. Таким образом, умножение матрицы на некоторую вспомогательную матрицу слева равносильно линейному комбинированию строк матрицы, умножение справа — линейному комбинированию столбцов.

Условие перестановочности умножения матриц

В общем случае . Если то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

Возведение матрицы в степень.

Пусть k – целое неотрицательное число. Для любой квадратной матрицы An×n имеем:

Ak=(A⋅A⋅…⋅A) kраз

При этом полагаем, что A0=E, где E – единичная матрица соответствующего порядка.

Пример №4

Задана матрица A=(1−12−3). Найти матрицы A2 и A6.

Решение

Согласно определению A2=A⋅A, т.е. для нахождения A2 нам просто нужно умножить матрицу A саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы, поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:

A2=A⋅A=(1−12−3)⋅(1−12−3)=(1⋅1+2⋅(−1)−1⋅1+(−3)⋅(−1)1⋅2+2⋅(−3)−1⋅2+(−3)⋅(−3))=(−12−47).

Чтобы найти матрицу A6 у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать A2 на матрицу A:

A6=A2⋅A⋅A⋅A⋅A.

Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для A6:

A6=A2⋅A⋅A⋅A⋅A=A2⋅(A⋅A)⋅(A⋅A)=A2⋅A2⋅A2.

Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа – лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:

A6=A2⋅A2⋅A2=(−12−47)⋅(−12−47)⋅(−12−47)==(−1⋅(−1)+(−4)⋅22⋅(−1)+7⋅2−1⋅(−4)+(−4)⋅72⋅(−4)+7⋅7)⋅(−12−47)=(−712−2441)⋅(−12−47)==(−7⋅(−1)+(−24)⋅212⋅(−1)+41⋅2−7⋅(−4)+(−24)⋅712⋅(−4)+41⋅7)=(−4170−140239).

Ответ: A2=(−12−47), A6=(−4170−140239).

Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы А заменой строк на столбцы.