Определитель Вронского, его свойство для фундаментальной системы решений.

Система решений ЛОДУ n-го порядка {y₁(x); y₂(x); …; y_n(x)} является ФСР в интервале (a, b) тогда и только тогда, когда определитель Вронского отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка (доказательство).

Если в интервале (a,b)система функций {y₁(x); y₂(x)} образует ФСР ЛОДУ 2-го порядка с непрерывными коэффициентами, то общее решение этого уравнения имеет вид: y₀₀ = C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x)

Дано: {y₁(x); y₂(x)} - ФСР ЛОДУ

Доказать:y₀₀ = C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x)

Доказательство:

1)  Докажем, что y₀₀ = C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x) является решением.

y₁’’+ p₁(x)*y₁’+ p₀(x)*y₁= 0

y’ = C₁*y₁’(x) + C₂*y₂’(x); y’’ = C₁*y₁’’(x) + C₂*y₂’’(x)

C₁*y₁’’(x) + C₂*y₂’’(x) + p₁(x)*(C₁*y₁’(x) + C₂*y₂’(x)) + p₀(x)*(C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x)) = 0

C₁*(y₁’’(x) + p₁(x)*y₁’(x) + p₀(x)*y₁(x)) + C₂*(y₂’’(x) + p₁(x)*y₂’(x) + p₀(x)*y₂(x)) = 0

C₁*0 + C₂*0 = 0

2) Докажем, что y₀₀ = C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x) будет общим решением, т.е. при любых начальных условиях y(x₀) = y₀; y’(x₀) = y₁можно выбрать произвольные постоянные С₁ и С₂ так, чтобы удовлетворить этим условиям.

Запишем начальные условия в виде:

Постоянные C₁и C₂ из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, т.к. определитель ∆ этой системы есть определитель Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ при x = x_0.

∆ = W(x) =	y1(x0)	y2(x)
	y1’(x0)	y2’(x)

∆≠ 0, т.к. y₁(x); y₂(x)} - ФСР ЛОДУ

;

∆2 =	y1(x0)	y0
	y1’(x0)	y1

по методу Крамера

∆1 =	y0	y2(x0)
	y1	y2’(x0)

 

 

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка (доказательство).

Общее решение ЛНДУ y_он может быть представлено в виде y_он = y_оо+ y, где y_оо – общее решение, y– частное решение.

Доказательство:

y’’+ p₁*y’+ p₀*y= q(x)

1. Докажем, что y_он = y_оо+ y будет решение уравнения y’’+ p₁*y’+ p₀*y= q(x)

y_он’’+ p₁*y’+ p₀*y= q(x)

y_оо ‘’+ y’’ + p₁*(y_оо‘+ y’) + p₀*(y_оо+ y) = q(x)

y_оо ‘’ + p₁*y_оо‘+p₀*y_оо+ y’’+ p₁*y‘+p₀*y= q(x)

Это равенство является тождеством, т.к.

y_оо ‘’ + p₁*y_оо‘+p₀*y_оо = 0

и y’’+ p₁*y‘+p₀*y= q(x)

y_он = y_оо+ yесть решение уравненияy’’+ p₁*y’+ p₀*y= q(x)

2.  Докажем, что y_он = y_оо+ y будет общим решением, т.е. при любых начальных условиях y(x₀) = y₀; y’(x₀) = y₁можно выбрать произвольные постоянные С₁ и С₂ так, чтобы удовлетворить этим условиям.

По теореме о структуре общего решения ЛНДУ общее решение ЛОДУ можно представить в виде:

y₀₀ = C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x);

где y₁(x) и y₂(x) – линейно независимые решения этого уравнения.

Таким образом: y_он = C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x) + y

Запишем начальные условия в виде:

Или

Постоянные С₁ и С₂ из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, т.к. определитель ∆ этой системы есть определитель Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ при x = x_0.

∆ = W(x0) =	y1(x0)	y2(x)
	y1’(x0)	y2’(x)

∆≠ 0, т.к. y₁(x); y₂(x)} - ФСР ЛОДУ

;

по методу Крамера

∆1 =	y0 - y(x0)	y2(x0)
	y1– y’(x0)	y2’(x0)

∆2 =	y1(x0)	y0- y(x0)
	y1’(x0)	y1– y’(x0)

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.

ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

y⁽ⁿ⁾ + p_(n-1) *y^(n-1)+ … +p₁*y’ + p₀*y = 0

гдеp_i = const; i = 0, 1, …, n-1

Лемма о характеристическом уравнении (доказательство), пример. 

Имеем ЛОДУ второго порядка

y’’+ p₁*y’+ p₂*y= 0 (1)

где p₁и p₂ – постоянные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде y = e^kx, где k = const

Тогда y’ = ke^kx, y’’ = k²e^kx.

Подставляя полученные выражения производных в уравнение y’’+ p₁*y’+ p₂*y= 0 получаем

e^kx(k²+p₁k+p₂) = 0

так как e^kx≠0, то, значит

k²+p₁k+p₂= 0 (2)

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению k²+p₁k+p₂= 0, то e^kx будет решением ЛОДУ. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1).

---

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 627; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!