Общее и частное решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

Общим решением ДУ первого порядка называется функция y=f(x,c), удовлетворяющая двум условиям:

1) y=f(x,C₀) является решение ДУ при каждом фиксированном С

2) Для любого начального условия y(x₀) = y₀найдется такое значение С = С₀,что функция y = f(x,C₀) удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется решение ДУ, полученное из общего решения при конкретном значении постоянной С.

Если общее решение найдено в неявном виде (т.е. Ф(x, y, C)=0), то это решение называется общим интегралом ДУ, а решение Ф(x, y, C₀)=0 в этом случае называется частным интегралом ДУ.

10. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения y’ = f(x,y) (фомулировка)

Если функция f(x,y) непрерывна в некоторой области D, содержащей точку (x₀, y₀), то решение задачи Коши существует. Если в этой же области D еще и – непрерывна, то такое решение единственное (z_y’)

Геометрический смысл:при выполнении всех условий теоремы найдется единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (x₀, y₀).

11. Дифференциальные уравнения 2-го порядка y’’= f (x,y,y’).

Дифференциальными уравнениями второго порядка называются уравнения: F (x, y, y’, y’’) = 0

Задача Коши для уравнения y’’= f (x, y, y’) и её геометрический смысл.

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, называется задачей Коши для уравнения второго порядка.

y’’= f (x, y, y’)

y(x₀) = y₀

y’(x₀) = y₁

Среди всех интегральных кривых ДУ выбирается та, которая проходит через точку (x₀, y₀) и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный y₁

Общее и частное решения ДУ второго порядка.

Общим решением ДУ второго порядка называется функция y = g (x, C₁, C₂,), удовлетворяющая двум условиям:

1) y = g (x, C₁, C₂,) является решением ДУ, при каждых фиксированных значениях C₁, C₂

2) для любых начальных условий y(x₀) = y₀; y’(x₀) = y₁найдутся такие значения C₁= C₁⁰ и C₂= C₂⁰, что функция y = g (x, C₁⁰, C₂⁰) удовлетворяет данным начальным условиям.

Частным решением ДУ второго порядка называется решение ДУ, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных C₁, C₂

Задача Коши для ДУ n-го порядка.

Функция y(t) называется решением задачи Коши, если y(t) является n-раз дифференцируемой функцией, а также удовлетворяет уравнению y⁽ⁿ⁾(t) = F (t, y(t), y'(t), y''(t), . . ., y⁽ⁿ^-1)(t)) и начальным условиям.

Общеерешение ДУ n-го порядка.

Общим решениемДУ n-го порядка называется функция y = g (x, C₁, C₂, …, C_n), зависящая от n произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_nи такая, что:

1) y = g (x, C₁, C₂, …, C_n) является решением ДУ, при каждых фиксированных значениях C₁, C₂, …, C_n

2) для любых начальных условий y(x₀) = y₀; y’(x₀) = y₁; …; y⁽ⁿ^-1) (x₀) = y_n_-1найдутся такие значения C₁= C₁⁰ и C₂= C₂⁰; …; C_n= C_n⁰что функция y = g (x, C₁, C₂, …, C_n)удовлетворяет данным начальным условиям.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 3789; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!