Вопрос 34. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и связь между ними.

Вопрос 35. Теорема о существовании односторонних пределов у монотонной функции.

       Теорема. Пусть f возрастает на конечном или бесконечном интервале (a,b), тогда в точке x=b, lim_x®b-0f(x)=sup_(a,b)f(x), а в точке x=a, lim_x®a+0f(x)=inf_(a,b)f(x).

lim_x®0 =1.

Доказательство.Рассмотрим односторонние пределы lim_x®0+  и lim_x®0-  и докажем, что они равны 1.

ПустьxÎ(0; ).Отложим этот угол на единичной окружности (R=1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что: S_DOKA<S_sectOKA<S_DOAL (1).

(из DOAL:| LA | = tgx); Подставляя в (1), получим:

или sin(x)<x<tg(x). Разделив все части неравенства на sin x > 0, получим при условии х > 0:

                  или . Так как функция у = cos x непрерывна, то              . Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции(о двух милиционерах), получим             .

Вопрос 37. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке. Примеры.

         Функция определенная в некоторой окрестности точки а, называется непрерывной в этой точке если lim_x®af(x)=f(a).

         Пусть функция определена на полуинтервале (a,x₀] ([x₀,a)), функция называется непрерывной слева (справа) в точке х₀ если lim_x®x-0f(x)=f(x₀) (lim_x®x+0f(x)=f(x₀)).

Пример.  f(x)=[x] –наибольшее целое число, меньшее или равноех.

f(x)=[x]непрерывна справа во всех точкахх.

Вопрос 38. Точки разрыва первого и второго рода. Примеры.

         Если f:(a,b)®R не является непрерывной в некоторой точке x₀Î(a,b) и имеются конечные пределы справа и слева f(x₀+0)=lim_x®x0+0f(x), f(x₀-0)=lim_x®x0-0f(x), то эта точка называется точкой разрыва первого рода.

         Если f:(a,b)®R не является непрерывной в некоторой точке x₀Î(a,b)и имеется конечный предел либо справа f(x₀+0)=lim_x®x0+0f(x), либо слева f(x₀-0)=lim_x®x0-0f(x) или оба отсутствуют, то такая точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример. Пример 1. Функция  имеет устранимый разрыв первого рода в точке .

       Пример 2. Функция  имеет разрыв второго рода в точке   

Вопрос 39. Локальные свойства функций, непрерывных в точке (теорема о локальной ограниченности, теорема о сохранении знака, теорема о непрерывности суммы, произведения, частного, теорема о непрерывности композиции двух непрерывных функций).

          Теорема 1. f:(a,b)®R функция непрерывна в точке x₀Î(a,b), тогда справедливы следующие утверждения:

1) f  ограничена в некоторой окрестностиU(x₀)точких₀.

2)Еслиf(x₀)¹0,то в некоторой окрестностиU(x₀)точки х₀все значения функции положительные или отрицательные т.е. sign f(x)=sign f(x₀).  

Доказательство случая 2. Непрерывность в точке х₀, в частности обозначает, что f  определена некоторой окрестности точких₀.Пусть для определенности,f(x₀)=d>0.Возьмемe=  >0.Тогда по определению непрерывности $d>0: |f(x)-f(x₀)|<e= , "x:|x-x₀|<d,откуда следует, чтоf(x)=f(x₀)+(f(x)-f(x₀))>d-  = ,приxÎU_d(x₀).

          Теорема 2. Если функцииf иg непрерывны в точкех₀,то функциисf, f+g, fg, а также при условииg(x₀)¹0, непрерывны в точке х₀. Докажем лишь что f/g непрерывна в х₀ (для остальных аналогично). g(x)¹0 при xÎU(x₀) и частноеf/g определено наU(x₀). Используя свойства пределов и непрерывность f и g: lim_x®x0(f/g)(x)= lim_x®x0f(x)/g(x)= lim_x®x0f(x)/ lim_x®x0g(x)=f(x₀)/g(x₀)=(f/g)(x₀).    

               Теорема 3. Пусть функцияy=f(x) непрерывна в точкех₀,а функцияF(y) непрерывна в точкеy₀=f(x₀), тогда композиция(Fof)(x):=F(f(x)) непрерывна в точкех₀.

    Это утверждение является следствием теоремы по пределу сложных функций, в силу которойlim_x®x0F(f(x))=lim_y®y0F(y)=F(y₀)=F(f(x₀)),что равносильно суперпозиции в точке х₀.

Мы поможем в написании ваших работ!