Вопрос 27. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Числовая последовательность {xn} называется фундаментальной если, для "e > 0 существует $n0 что для "n > n0 для любого целого "p:|xn+p - xn|<e (условие Коши).
Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.
Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится 
. Пусть e >0 . Для e¢=e/2$ n0"n> n0:|xn -a|<e/2 для тех же n (n> n0) и "p будет выполнено |xn+p -a|< e/2. Таким образом, для "n> n0"p:|xn+p - xn|£ |xn+p - a|+|a - xn| < e/2+e/2=e.
Если же последовательность удовлетворяет условию Коши, т.е. является фундаментальной, то согласно лемме 1 (если последовательность имеет конечный предел, то она фундаментальная), она ограничена, следовательно в силу принципа компактности из нее можно выбрать подпоследовательность имеющую конечный предел. Тогда из леммы 3 (если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то ее предел и является пределом всей последовательности), следует что вся заданная последовательность сходится к тому же пределу.
Вопрос 28. Понятие точной верхней и нижней грани функции, ее наименьшего и наибольшего значения на множестве Е.
Точная верхняя(нижняя) грань множества значений функции f(E), f:E®R, называется точной верхней(нижней) гранью функции и обозначается sup (f), (inf (f)).
Говорят что f:E®R принимает в точке x0ÎЕ наибольшее значение (наименьшее значение) если f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0)), в таких случаях пишут f(x0)=max f(x) (f(x0)=min f(x)).
|
|
|
Вопрос 29. Определение предела функции по Коши. Односторонние пределы функции в точке.
Определение предела функции по Коши –точкаА называется пределом функцииfточки а, если для любой окрестностиU(A,e)точкиАсуществует такая проколотая окрестность 
(a,d)точкиа,чтоf( (a,d))Ìf(U(A,e)),при этом пишутlimx®af(x)=A.
Пусть f(x) определена в правой (левой) полуокрестности точки aÎR, точка А называется пределом справа (слева), если "e>0 $d(e)>0, что для всех "xÎU(a+0,d):={x: a<x<a+d}
("xÎU(a-0,d):={x: a-d<x<a}) при этом пишут A=limx®a+0f(x)=f(a+0) – правосторонний предел, A=limx®a-0f(x)=f(a-0) – левосторонний предел.
Вопрос 30. Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность двух определений функции.
Определение предела функции по Гейне –пустьf(x)определена в проколотой окрестности (a)точкиа,точка А называется пределом функции в точке а, если для " последовательности {xn}Î (a) n=1,2… такой, что limn®¥xn®a, имеет место limn®¥f(xn)=A или limx®af(x)=A.
Теорема. Определения пределов функции по Коши и по Гейне равносильны.
Доказательство. Пусть limx®af(x)=A по Коши, пусть {xn} последовательность типа Гейне при x®a, тогда для любой окрестности U(A) в точке А, найдется проколотая окрестность (a) в точке атакая, что "xÎ (a) имеем f(x)ÎU(A), если limn®¥(xn)=a, то найдется номер $N, "n>N, xnÎ (a), f(xn)ÎU(A). На основании определения предела последовательности заключаем, что limn®¥f(xn)=A.
|
|
|
Обратное.Пусть предел limx®af(x)=A (по Гейне),еслиАне является пределомf(x)приx®aв смысле определения отх,то найдется$U(A)такая что при"nÎNпроколотом 1/nокрестности точки Анайдется $xnтакая чтоf(xn)ÏU(A),но это означает чтоАне является пределом последовательности f(xn) хотя пределlimn®¥f(xn)®a.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 270; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!