Аналитическое представление заданного сигнала

Заданный сигнал может быть представлен в виде суммы пяти сигналов.

где =0 на интервале времен от - до 0 и от t₀ до + . На интервале времени от 0 до t₁ сигнал представляет собой прямоугольный импульс с амплитудой U_m=5 В и длительностью t₁=5мс, обозначим его - . На интервале времени от t₁ до (t₁+t₂)действует сигнал , который представляет собой линейно спадающую функцию с крутизной k₁=U_m/t₂=5/1=5 В/мс.В общем случае эту часть может быть описана функцией:

(1).

На интервале времени от (t₁+t₂) до (t₁+t₂+t₃) -опять прямоугольный импульс с амплитудой U_m=5 В и длительностью t₃=2 мс, обозначим его - . На интервале времени от (t₁+t₂+t₃)начинаетсяучасток среза длительностью t₄=1 мс, который может быть описан выражением аналогичным выражению (1)с крутизной k₂=U_m/t₄=5/1=5 В/мс. В общем виде заданный сигнал можно записать в виде аналитического выражения:

, (2)

где время t измеряется в мс.

Раздел 2. Спектральный анализ непериодического сигнала

Аналитическое выражение спектральной плотности заданного сигнала

Спектральный анализ сигнала - это анализ сигнала в частотной области. Для этого необходимо представить непериодический сигнал в частотной области с помощью интеграла Фурье [1]:

, (3)

гдекомплексную функцию называют спектральной плотностью или просто спектром сигнала, который описывает свойства сигнала в частотной области. Спектральная плотность величина комплексная, определяется выражением:

(4)

Она может быть представлена в виде:

, (5)

где частотная зависимость модуля спектральной плотности это амплитудный спектр сигнала[1]: , а - фазовый спектр сигнала.

Вычисление спектральной плотности для заданного сигнала напрямую по формуле (4) достаточно громоздко. Определим спектр заданного сигнала, используя свойства преобразования Фурье [2], в частности используем то, что спектр производной сигнала однозначно связан со спектром самого сигнала простым преобразованием – он равен спектру сигнала, умноженному на .

Найдем производную заданного сигналаg(t)=ds(t)/dt. Производная заданного сигнала представляет собой две положительные дельта-функции с амплитудой U_mв моменты времени t=0 и t=(t₁+t₂). Производная от линейно-спадающих участков на интервалах времени [t₁, (t₁+t₂)] и [(t₁+t₂+t₃), t₀] будет постоянная величина, равная крутизне k.В эти моменты времени производная заданного сигнала представляет собой отрицательные прямоугольные импульсы с амплитудами k₁=U_m/t₂=5/1=5 В/мси k₂=U_m/t₄=5/1=5 В/мс.

График производной заданного сигнала представлен на рис.2.

Рис.2. Производная заданного сигнала

Спектр такого сигнала будет состоять из суммы четырех спектров:

спектра дельта-функции при t=0-

спектра дельта-функции при t=(t₁+t₂) -

спектра отрицательного прямоугольного импульса длительностью t2, запаздывающего относительно нуляна время t_зап1=(t₁+t₂/2) - [1]:

спектра отрицательного прямоугольного импульса длительностью t₄, запаздывающего относительно нуля на время t_зап2=(t₁+t₂+t₃+t₄/2) -

(6)

Спектральная плотность дельта-функции равна [2]: .

Спектральныеплотности и отрицательныхпрямоугольных импульсов(рис.2) длительностью t₂=t₄= =1мс,амплитудой -kс учетом запаздывания середины импульса на время t_зап1=(t₁+t₂/2) и t_зап2=(t₁+t₂+t₃+t₄/2)относительно времени t= 0 можно записать в виде:

Из этих выражений видно, что амплитудный спектр этих прямоугольных импульсов одинаков, они имеют разные фазовые спектры потому, что у них разное время запаздывания.

Комплексная спектральная плотность заданного сигнала, являющегося интегралом от сигнала, представленного на рис.2, будет равна сумме всех составляющих выражения (6), деленнойна [2]. После суммирования, подстановки значений, деленияи преобразований получим:

(7)

Это аналитическое выражение для комплексного спектра сигнала, заданного выражением (2) и представленного на рис.1.

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 3797; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!