ИНЪЕКТОРЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ДЛЯ КЛАССОВ ХАРТЛИ

Шайкова Е.В.,

магистрант УО «ВГУ им. П.М. Машерова», г. Витебск, Республика Беларусь

Классы Фиттинга впервые были определены Фишером в 1966 году в работе [1]. В последующем, Гашюцем, Фишером и Хартли [3] ,был найден для любого класса Фиттинга F в любой конечной разрешимой группе новый класс сопряжённых подгрупп, называемых F-инъекторами и тем самым получено обобщение фундаментальных теорем Силова и Холла.

В теории конечных разрешимых хорошо известен результат Фишера [1] о том, что нильпотентные инъекторы (F-инъекторы) группы G это в точности максимальные нильпотентные подгруппы группы G ,содержащие радикал Фиттинга.

Напомним, что если F-непустой класс Фиттинга, то F-радикалом группы G называют наибольшую нормальную подгруппу G_F группы G принадлежащую F.

Если F и H классы Фиттинга, то их произведением называют класс групп FH =(G:G/G_FÎH).

Введём понятие класса Хартли. Пусть S={p_i:iÎI}-семейство попарно-различных подмножеств p_i множества всех простых чисел Р такое ,что Р=È_i_Î_Ip_i. Функцию h: S®{классы Фиттинга} будем называть функцией Хартли или H-функцией. Пусть

LH(h)=Ç _i_§_Ih(p_i)E_p_´_iE_p_i.

Класс Фиттинга H мы назовём классом Хартли, если H=LH(h), для некоторой H-функции h. В этом случае будем говорить, что H определяется локально H-функцией h.

Задачу описания H-инъекторов впервые рассмотрел Хартли [2]. Развивая указанный выше результат Фишера [1], для случая H=XN, он установил, что H-инъекторами группы G являются в точности все те её подгруппы V, для которых V/G_X нильпотентные инъекторы группы G/G_X.

Применим локальный метод Хартли [2] к решению задачи описания строения инъекторов конечных частично-разрешимых групп.

Решение задачи Хартли построения инъекторов таких групп посредством радикалов – основная цель настоящей работы.

Доказана

Теорема.Пусть H-класс Хартли. Тогда для любой GÎHS и её подгруппы V справедливы следующие утверждения:

1) V является H-инъектором G тогда и только тогда, когда V/G_h является нильпотентным N-инъектором группы G;

2) H-инъекторы группы – это в точности все те подгрупп из G, которые содержат её H-радикал и H-максимальны в G.

Из теоремы вытекают следующие следствия.

Следствие 1. Для любого класса Хартли H=Ç_ph(p_i)E_p_´iE_p_i и любой группы G существует единственный класс сопряжённых H-инъекторов, которые характеризуются следующим образом: подгруппа V группы GÎHS является ее H-инъектором тогда и только тогда, когда V/G_h нильпотентный инъектор группы G/G_h. Кроме того, H-инъекторы группы G это в точности H-максимальные подгруппы G, содержащие ее H-радикал.

Следствие 2[2].ПустьH=XN. Тогда подгруппа V – H-инъектор группы GÎHS, если V/G_X – нильпотентный инъектор группы G/G_X.

Литература:

1. Fisher,B.Klassen konjugierter Untergruppen in endlichen auflosbaren Gruppen /B.Fisher.-Habilitationschrift Universitat Francfurt (M)-1966.

2. Harley B. On Fischer’s dualization of formation theory // Proc.London Math.Soc.1969.Vol.3,N 2.P.193-207.

3. Fisher B., Gaschutz W., Hartley B. Injektor enendlicherau flosbarer Gruppen // Math. Z. 1967. Bd.102 №5.S.337-339.

4. Воробьев Н. Т., Дудкин И. В. Ученые записки. Т.I, 2002. C. 181.

ЗАМКНУТЫЕ ПОРЯДКИ НА ПОЛУГРУППЕ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ РАНГА НОЛЬ

Шайтор Е.С.,

студент 4 курса УО «ВГУ им. П.М. Машерова», г. Витебск, Республика Беларусь

Научный руководитель – Наумик М.И., канд. физ.-мат. наук, доцент

Стабильные порядки рассматривались на полугруппах в [1,2]. Все остальные обозначения и определения можно найти в [3].

Пусть V- n-мерное векторное пространство над полем F. Бинарное отношение между элементами множества называются линейными, если оно является подпространством . Другими словами, линейное отношение - множество пар , где , замкнутое относительно операций сложения и умножения на элемент из поля F: если и при каких- либо , то для любых .

Множество всех линейных отношенийLR(V) на пространстве V, как известно, являются полугруппой относительно операций умножения бинарных отношений: для тогда и только тогда, когда существует такой элемент ,что , .

При изучении линейных отношений будем рассматривать следующие подпространства пространства V:

, где A-подпространство V.

Ранг линейного отношения определяется формулой

Стабильный порядок δ полугруппы LR₁(V) будем называть замкнутым порядком δ, если для любых a,bÎLR₁(V)и c,dÎLR(V)из aδb следует cadδcbd.

Пусть δ — стабильный порядок полугруппы LR₁(V). Для любых подпространств А и В удовлетворяющих условию ω_A δ ω_B существуют такие числа ν_i, что dim(A/B)< ν_i, A⊇B или dim(B/A)< ν_i, B⊇A.

Минимальное среди этих чисел обозначим ν(δ). Для любых подпространств C, D удовлетворяющих условию существуют такие числа ν_i’ , что dim (C/D)< ν_i’, C⊇D или dim (D/C)< ν_i’, D⊇C. Минимальное среди этих чисел обозначим ν’(δ).

Обозначим через ν(V) множество чисел, определяемое условием : если n¨n (V) ν=1 или ν=1+dimV.

Определим отношение δ₁(ν,ν’) и δ₂(ν,ν’), где ν, ν’¨ν(V) на полугруппе LR₁(V) следующим образом:

ω_A δ₁(ν,ν’)ω_B Ûdim(A/B) < ν, dim(C/D)<ν’, BÍA; DÍC;

ω_A δ₂(ν,ν’)ω_B Ûdim(A/B) < ν, dim(D/C)<ν’, BÍA; CÍD;

Теорема. Отношение δ₁(ν,ν’) и δ₂(ν,ν’) являются замкнутыми порядками полугруппы . Любой замкнутый порядок полугруппы совпадает с одним из отношений δ₁(ν,ν’), δ₂(ν,ν’) или им обратным.

Литература:

1. Могилевский, Т.И. Стабильные порядки полугруппы всех квадратных матриц над произвольным полем/ Т.И. Могилевский // Теория полугрупп и ее приложение – Саратов.- 1987.-стр 41- 45

2. Дереч, В.Д. О стабильных квазипорядках / В.Д. Дереч. – Винница, – 1988. – 12 с.

3. Клиффорд, А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М. 1972, т1. – 285с.

Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 220; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 20 21 22 23 242526 27 28 29 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!