СТЕПЕНЬ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЭЛЛИПСА
Чернявский М.М.,
студент 1 курса УО «ВГУ им. П.М. Машерова», г. Витебск, Республика Беларусь
В данном докладе автор обобщает понятие степени точки относительно окружности на случай эллипса. Ряд свойств эллипса сформулирован в терминах степени точки и доказан с применением этого понятия.
Как известно ([1], с.349), для любой точки 
число
(1)
называется степенью точки 
относительно окружности
(2)
Понятие степени точки относительно окружности применяется при решении ряда задач аналитической геометрии ([2], с.363).
Точки пересечения каждой из пучка прямых
(3)
проходящих при 
через точку 
с кривой (1) определяются из уравнения
(4)
Пусть прямая (3) на самом деле пересекает окружность (1), т.е. уравнение (4) имеет действительные (быть может, совпадающие) корни 
и 
Через эти корни координаты точек пересечения прямой (3) с окружностью (1) выражаются равенствами
Тогда справедливо тождество
|
|
|
(5)
Тождество (5) является базовым для некоторых обобщений, устанавливаемых автором настоящего доклада.
Из тождества (5), как известно, следует, что
(6)
т.е. произведение длины любой секущей пучка прямых (3) на её внешнюю часть не зависит от прямой пучка и равно степени точки относительно окружности (если 
лежит вне круга, определяемого окружностью (2)). Если же точка 
принадлежит соответствующему кругу, то равенство (6) выражает содержание теоремы о пересекающихся хордах.
Обобщение тождества (5) на случай эллипса
(7)
будет иметь следующий вид.
Теорема 1. Справедливо следующее тождество:
(8)
Число
(9)
естественно назвать степенью точки относительно эллипса.
Следствие 1. Справедливо равенство:
|
|
|
(10)
Геометрический смысл равенства (10) состоит в том, что произведение взвешенных расстояний от точки 
до точки пересечения прямой пучка (3) с эллипсом не зависит от прямой пучка и равно модулю степени точки σ относительно эллипса.
Например, следующий факт: произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокальную ось, есть величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса, – является следствием тождества (10).
Литература:
1. Постников, М.М. Аналитическая геометрия / М.М. Постников. – Москва: Наука,1973. – 752 с.
2. Берже, М. Геометрия: в 1 т./ М. Берже. – Москва: Мир,1984. – 546 с.
Моделирование стратегии компьютера в логических играх
На примере игры «Калах»
Чернявский С.В.,
студент 4 курса Оршанского колледжа УО «ВГУ им. П.М. Машерова», г. Орша, Республика Беларусь
Научный руководитель – Юржиц С.Л., преподаватель
В настоящее время идея наделить машину «разумом» стала не только осуществима, но и повсеместно используема. Многие программисты заняты проблемой создания искусственного интеллекта, используемого в разных областях, начиная с экспертных систем и заканчивая модулями управления искусственными спутниками. Интеллектуальные системы позволяют
|
|
|
машинам осуществлять оценку ситуации, находить оптимальное решение, предлагать выбор определённого действия. Использование искусственного интеллекта (ИИ) затронуло и область логических игр. Разработка ИИ для игры, позволяет заменить реального игрока виртуальным, причём компьютер может играть на уровне сильнейших игроков. Мастерство компьютера напрямую зависит от алгоритма, используемого в ИИ. Данные алгоритмы необходимо постоянно совершенствовать, чтобы вывести возможности машины на новый уровень.
Игра «Калах» является одной из старейших игр. Правила игры просты, в ней исключено наличие случайного эффекта и, являясь чистой борьбой умов, она как нельзя лучше подходит для игры с компьютером. В данной логической игре играют два соперника, каждый из которых должен осуществлять ход по общепринятым правилам. Инструментарием для игры могут выступать камешки или другие мелкие предметы, которые находятся в лунках, делая ход, соперник раскладывает эти камешки определённым образом. Его целью является перенесение как можно большего количества камней в свою главную лунку, называемую Калахом. Искусственный интеллект должен смоделировать всевозможные ходы игрока и ходы противника. В результате должно получиться дерево ходов игры. В «Калахе» получается несколько деревьев. Листья или узлы дерева соответствуют позициям игрока, из которых будет производиться ход, корень дерева – начальной позиции. Полученные деревья анализируются определённым способом. При создании алгоритма, производящего анализ дерева ходов, необходимо определить стратегию игры. Игроки должны придерживаться стратегии максимизации своего выигрыша. Но обеспечивая максимальный выигрыш при выборе определённого хода, можно повлиять на увеличение выигрыша соперника при последующих ходах игры. Поэтому наряду с максимизацией выигрыша игрока необходимо минимизировать выигрыш противника, избрав при этом оптимальный ход. Данная стратегия использует принципы минимакса и максимина теории игр. Исходя из выбранной стратегии, необходимо выбрать только те узлы дерева, которые будут удовлетворять заданным условиям, для этого необходимо произвести оценку каждого узла дерева, что выполняет статистическая оценочная функция [1, с. 65]. Например, оценка узла может выставляться, исходя из разности камней в калахах противников. На основе оценки узлов дерева можно судить о выгодности или невыгодности данной позиции. Для получения картины игры необходимо строить деревья, содержащие определённое количество уровней. Каждый уровень будет соответствовать конкретному ходу игрока или противника; чем больше уровней дерева, тем достоверней картина. С каждым уровнем дерева появляется всё большее количество узлов. Строить полное дерево ходов будет нецелесообразно, т.к. это требует большого количества времени и ресурсов. В «Калахе» количество узлов будет 
где d – количество уровней, которое растёт в геометрической прогрессии [1, с. 64]. Выход из данной ситуации: либо уменьшение глубины просмотра дерева ходов, что неприемлемо, т.к. представится недостоверная картина игры, либо отсечение определённых узлов дерева. Данную задачу в отсечении узлов, которые имеют заведомо невыгодные позиции для обоих игроков, должна выполнять альфа-бета-процедура [2]. Определение позиций производиться на основе предварительной оценки узла: если оценка последующего узла уровня не удовлетворяет условиям (будет меньше или больше предварительной оценки предыдущего узла уровня, в зависимости от хода соперников), то данный узел можно считать заведомо не выгодным и не осуществлять по нему дальнейший просмотр. Например, игрок не будет делать ход, который не приведёт к увеличению камней в калахе, если есть ходы позволяющие добавить в калах несколько камней. После построения дерева с оценкой каждого узла и отсечением заведомо невыгодных узлов, можно осуществить выбор концевого узла с наибольшей оценкой. Весь путь от корневого узла до выбранного концевого узла – это предполагаемый сценарий игры, который может быть осуществлён, исходя из текущей ситуации. Модифицируя алгоритмы построения дерева ходов, статистической оценочной функции и альфа-бета-процедуры, можно создать ИИ для других игр (крестики-нолики, шашки, шахматы и т.д.). Данный принцип может использоваться для моделирования поведения персонажей игр других жанров.
|
|
|
Моделирование стратегии игрока в игре – сложная и интересная задача, при решении которой человек в симбиозе с «умными» машинами может достигнуть непревзойденных результатов в различных областях науки и техники.
Литература:
1. Уэзерел, Ч. Этюды для программистов / Ч. Уэзерел. – М.: Мир, 1982. – 288 с.: ил.
2. Описание программы, играющей в калах / Павел Н. Дубнер [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://algolist.manual.ru / games /kalah.php
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 309; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!