Решение систем методом Крамера
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Кратко алгоритм метода Крамера можно описать тремя шагами:
Находим определитель D исходной матрицы A.
В цикле от 1 до n заменяем i-ый столбец матрицы на столбец результатов B. Находим текущий определитель Di полученной матрицы.
xi находится делением Di на D: xi = Di / D.
Суть метода Крамера демонстрирует пример нахождения переменных системы линейных уравнений.
ПРИМЕР. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
x1 + 4x2 = 5
-2x1 + x3 = -1
2x1 + x2 + x3 = 4
Решение. Запишем систему в виде:
| A = |
|
BT = (5,-1,4)
Главный определитель: ∆ = 1 • (0 • 1-1 • 1)-(-2 • (4 • 1-1 • 0))+2 • (4 • 1-0 • 0) = 15
Заменим первый столбец матрицы А на вектор результата B.
| 5 | 4 | 0 |
| -1 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 1 |
Найдем определитель полученной матрицы: ∆1 = 5 • (0 • 1-1 • 1)-(-1 • (4 • 1-1 • 0))+4 • (4 • 1-0 • 0) = 15
x1 = 15/15 = 1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата B.
| 1 | 5 | 0 |
| -2 | -1 | 1 |
| 2 | 4 | 1 |
Определитель полученной матрицы равен ∆2 = 1 • (-1 • 1-4 • 1)-(-2 • (5 • 1-4 • 0))+2 • (5 • 1-(-1 • 0)) = 15
x2 = 15/15 = 1
Заменим третий столбец матрицы А на вектор результата B.
|
|
|
| 1 | 4 | 5 |
| -2 | 0 | -1 |
| 2 | 1 | 4 |
Определитель этой матрицы равен ∆3 = 1 • (0 • 4-1 • (-1))-(-2 • (4 • 4-1 • 5))+2 • (4 • (-1)-0 • 5) = 15
x3 = 15/15 = 1
Проверка решения:
1•1+4•1+0•1 = 5
-2•1+0•1+1•1 = -1
2•1+1•1+1•1 = 4
Вывод:
Смысл метода Крамера: находим определитель Di, получаемый из заменой i-го столбца на столбец свободных членов и делим его на главный определитель D.
xi = Di / D
Метод Крамера относится к простым для реализации методам решения СЛАУ и получил широкое распространение в разных областях знаний (например, при нахождении уравнений регрессий). Недостатком метода является его практическая непригодность для вычисления СЛАУ с большим количеством переменных (от 5 и выше). Для этого случая используют приближенные методы (например, метод простой итерации).
Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы
Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы ( 
) и 
, то есть основная матрица системы 
невырождена. В этом случае, согласно предыдущему пункту, для матрицы существует единственная обратная матрица 
. Ясно, что она согласована с матрицами 
и 
. Покажем это. Для этого умножим слева обе части матричного уравнения (4.2) на матрицу :
|
|
|
Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем
Так как 
, а 
, тогда
. (4.3)
Убедимся, что найденное значение 
является решением исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим 
, откуда имеем 
.
Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение 
, которое удовлетворяет равенству
.
Покажем, что матрица равна матрице
С этой целью умножим предыдущее равенство слева на матрицу .
В результате получим
Такое решение системы 
уравнений с неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.
Пример. Найти решение системы
.
Выпишем матрицу системы:
, 
Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:
или
Здесь мы вынесли общий множитель 
, так как нам в дальнейшем нужно будет произведение 
.
Ищем решение по формуле: .
Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.
|
|
|
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 485; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!