Преобразование системы координат (параллельный перенос, поворот)
Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном n-мерном многообразии.
Параллельный перенос системы координат. Имеем прямоугольную систему координат хОу с центром в точке О(0; 0) Через некоторую точку O*(a; b) проведем новые оси координат параллельные Ох, Оу, сохранив направление и масштаб. Координаты произвольной точки М(х; у) в новой системе координат x*O*y* примут значения
x* = x – a или x = x* + a,
y* = y – b или y = y* + b, (37)
т.е. параллельный перенос системы координат приводит к линейным преобразованиям координат.
Поворот системы координат. Систему координат хОу с ортами i, j повернем на угол относительно начала координат и введем новые орты i*, j*. Выразим старые орты через новые
i = cos 
i* – sin j*,
j = sin i* + cos j*.
Радиус вектор произвольной точки М(x; y) разложим по ортамi, j и перейдем от них к ортам i*, j*
= {x; y} = xi + yj = x(cos i* – sin j*) + y(sin i* + cos j*) =
= (xcos + ysin )i* + (–xsin + ycos )j* = {x*; y*}.
В результате получаем следующую формулу преобразования координат при повороте осей на угол
x* = xcos + ysin 
,
y* = –xsin + ycos . (38)
Все возможные преобразования системы координат на плоскости сводятся к параллельному переносу и повороту осей координат.
Векторы. Линейные операции над векторами
Векторы занимают особое место среди объектов, рассматриваемых в высшей математике, поскольку каждый вектор имеет не только числовое значение - длину, но и физическое и геометрическое - направленность. Вектор, представленный направленным отрезком, идущим от точки A к точке B, обозначается так: .
|
|
|
Вектор - это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.
Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1(левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в искомой точке.
Координаты вектора
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
На плоскости координаты вектора v относительно данного базиса (a, b) – это такая пара чисел (x; y), что v = xa + yb. Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса.
|
|
|
При сложении векторов складываются их соответственные координаты; при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Скалярное произведение векторов с координатами (x; y) и (x'; y') равно сумме произведений соответственных координат: xx' + yy'.
Чтобы вычислить координаты вектора, зная координаты (x1; y1) его начала A и координаты (x2; y2) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x2 – x1; y2 – y1).
Все сказанное справедливо и для случая пространства с той разницей, что базис в пространстве состоит из трех векторов, а наборы координат векторов и точек – из трех чисел.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 8280; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!