Обратная матрица. Построение обратной матрицы
Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A-1 такая, что A-1A = A A-1 = E.
Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.
Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠ 0 ). Это условие является и достаточным для существования A-1 матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.
Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А.
1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠ 0, то матрица A-1 существует.
2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij элемента aij исходной матрицы.
3. Транспонируем матрицу В и получим BT.
Теорема существования и единственности обратной матрицы. Для квадратной матрицы А существует и при том единственная обратная матрица А-1 тогда и только тогда, когда эта матрица не вырождена.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная). Из этих условий следует, что 
и, следовательно, система совместна и определена. Решение системы можно получить так: 
. Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы 
. Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.
|
|
|
Ранг матрицы. Методы нахождения
Рангом матрицы А (обозначается r(A)) называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю.
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.
Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы:
- замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;
- перестановки строк матрицы;
- вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю;
- умножения строки на число, отличное от нуля;
- прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число.
Подчеркнем, что сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 324; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!