Методы вычисления определителей
В общем случае правило вычисления определителей 
-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы 
второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка 
Решение. 
Ответ. 
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
Миноры и алгебраические дополнения
Минором Mij элемента aij определителя D =|aij|, где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащий данный элемент.
Например, минор М12, соответствующий элементу а12 определителя
Пример 1. Записать все миноры определителя
Решение.
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя D называется минор Мij этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j. Алгебраическое дополнение обозначают Aij.
|
|
|
Aij = (-1)i+j Mij
Пример 2.
Найти алгебраические дополнения элементов а13, а21, а31 определителя
Решение.
Определители n-го порядка
Определитель n-го порядка записывается в виде квадратной таблицы, содержащей n строк и n столбцов: 
Числа аij - элементы определителя, i – номер строки, j –номер столбца, n - порядок определителя.
Диагональ определителя, состоящая из элементов с одинаковыми индексами, называется главной, а другая называется побочной.
Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых есть произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем знак всякого члена определяется входящими в его состав элементами.
Основные свойства определителей n - го порядка.
1. При замене строк столбцами значение определителя не меняется.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
4. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), то такой определитель равен нулю.
|
|
|
5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
6. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
7. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) являются линейной комбинацией соответствующих элементов двух (или нескольких) других строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 391; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!