Матрица. Действия над матрицами
Матрица – множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m-строк и n-столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:
aij, I – номер строки, j – номер столбца.
Элементы матрицы, стоящие на диагонали, идущие из верхнего левого угла называют главной диагональю, другую диагональ называют побочной.
пример 2.
Если количество строк m матрицы не равно количеству столбцов n, то матрица называется прямоугольной (пример 2).
Если количество столбцов матрицы совпадают с количеством строк, то матрица называется квадратной (пример 1).
Количество строк или столбцов в квадратной матрице называются ее порядком.
Если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной (пример 3).
пример 3.
Если все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной (пример 4).
пример 4.
Действия над матрицами
Сложение матриц:
Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов.
С = А + В
cij = aij + bij
Аналогично определяется разность матриц. 
Умножение матрицы на число:
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.
В = k × A
bij = k × aij.
Матрица — А = (-1) × А называется противоположной матрице А.
|
|
|
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1. А + В = В + А;
2. А + (В + С) = (А + В) + С;
3. А + 0 = А;
4. А — А = 0;
5. 1 × А = А;
6. α × (А + В) = αА + αВ;
7. (α + β) × А = αА + βА;
8. α × (βА) = (αβ) × А;
, где А, В и С — матрицы, α и β — числа.
Умножение матриц (Произведение матриц):
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что
сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + … + ain × bnk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i — ой строки матрицы А на соответствующие элементы j — ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера. 
Свойства умножения матриц:
|
|
|
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких — либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А × Е = Е × А = А
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А × (В × С) = (А × В) × С;
2. А × (В + С) = АВ + АС;
3. (А + В) × С = АС + ВС;
4. α × (АВ) = (αА) × В;
5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;
6. (АВ)Т = ВТАТ;
7. (АВС)Т = СТВТАТ;
8. (А + В)Т = АТ + ВТ; 
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 656; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!