Які числові характеристики відображають центральну тенденцію? Середня арифметична і її властивості.

⇐ ПредыдущаяСтр 21 из 25Следующая ⇒

Середня арифметична використовується у тому випадку коли сума спостережень має залишатись незміною,якщо кожне з них замінити середньою арифметиною.

X1,x2,…,xn-статистична сукупність

V1,V2,…,Vn -частоти

F1,f2,…,fk - частоти k<n

=(1/n)

Які числові характеристики відображають мінливість? Поняття коефіцієнта варіації.

коефіцієнт варіації використовується для порівняльної оцінки варіації в розподілах з різними значеннями середньої.

V=( / )*100

Дозволяє визначити наскільки добре середня арифметична представляє все елементи сукупності.Якщо V<33 процента то середнє арифметичне добра представляє всі елементи сукупності, сукупність є однорідною.

Які числові характеристики відображають мінливість? Дисперсія і її властивості.

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии.

Нехай -выборка из распределения вероятности. Тогда

Выборочная дисперсия — это случайная величина

,где символ обозначает выборочное среднее.

Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

Які числові характеристики відображають форму статистичного розподілу? Запишіть їх формули. Які особливості статистичної сукупності випливають із того, що коефіцієнт асиметрії (ексцесу) більше, менше або дорівнює нулю?

Коефіцієнт асиметрії

А_s= /( )=( )/( ^3)

А_s<0 – лівостороння асиметрія(у варіаційному ряді переважають елементи менші від середньої)

А_s>0 – правостороння асиметрія(у варіаційному ряді переважають елементи більші від середньої)

А_s=0 – елементи симетричні.

Запишіть формули, за якими обчислюються середня арифметична, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія й ексцес.

Выборочная дисперсия — это случайная величина

Дисперсія

15.

Середнє арифметичне

=(1/n)

Среднеквадратическое отклонение:

асиметрія

А_s= /( )=( )/( ^3)

Ексцес(коефіцієнт гостровершинності)

Е_к= /( )=( )/( ^4)

1. Перевірка статистичних гіпотез

1. Яке твердження називають статистичною гіпотезою? Що стверджують прості й складні гіпотези? Наведіть приклади.

Статистическая гипотеза, предположительное суждение о вероятностных закономерностях, которым подчиняется изучаемое явление. Как правило, Статистическая гипотеза определяет значения параметров закона распределения вероятностей или его вид. Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, если l является параметром экспоненциального распределения, то гипотеза Н0 о равенстве l=10 – простая гипотеза. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Сложная гипотеза Н0 о неравенстве l>10 состоит из бесконечного множества простых гипотез Н0 о равенстве l=bi, где bi – любое число, большее 10. Гипотеза Н0 о том, что математическое ожидание нормального распределения равно двум при неизвестной дисперсии, тоже является сложной. Сложной гипотезой будет предположение о распределении случайной величины Х по нормальному закону, если не фиксируются конкретные значения математического ожидания и дисперсии.

2.Яку гіпотезу називають нульовою? Яку гіпотезу називають альтернативною?

Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н0. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н1. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза.

3.У якому випадку при перевірці гіпотези приймається остаточне рішення? Чи може результат експерименту по перевірці гіпотез, що підтверджує справедливість висунутої гіпотези, бути сумісним з іншими гіпотезами? Чому?

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z=z(x1, x2, …, xn). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S0 и S1. Если значение критерия z попадает в область S0, то гипотеза принимается, а если в область S1, то гипотеза отклоняется. Множество S0 называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S1 – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.!!!!!!!

4,Коли має місце помилка першого роду? У чому складається помилка другого роду

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверить ее. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том» что будет принята неправильная гипотеза.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях: гипотеза принимается; причем и в действительности она правильная; гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать q. Ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

5. Яке правило називається статистичним критерієм? Які підмножини значень статистики критерію називають областю прийняття гіпотези (припустимою областю) та критичною областю?

Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Для проверки нулевой гипотеза используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Ее обозначают t если она распределена по закону Стюдента, X2 - по закону "хи квадрат", F- по закону Фишера, G - по закону Кохрэна. Обозначим эту величину К

Статистическим критерием (или просто критерием) называется случайная величина К, служащая для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением (Кнабл) называют значение критерия, вычисленное по выборкам. .

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества; одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое - при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области - гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы - гипотезу принимают.

Поскольку критерий К - одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками Ккр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают, одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К>Ккр , где Ккр- положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К<Ккр , где Ккр- отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую областью.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами K<K1, K>K2, где К2>К1.

6.Яке правило називається статистичним критерієм? Які точки називаються критичними точками К_кр? Що називається рівнем значущості?

Статистическим критерием (К) называется случайная величина, точное или приближённое распределение, которой известно и которая служит для проверки справедливости нулевой гипотезы.

Множество возможных значений критерия делится на две непересекающихся области:

1) значения, при которых нулевая гипотеза справедлива (область принятия гипотезы).

2) значения, при которых нулевая гипотеза отвергается (критическая область).

Критическая область может быть односторонней (левосторонней, правосторонней) или двусторонней.

Рис.1. Виды критических областей: правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя.

Точка Ккр, отделяющая критическую область от области принятия гипотезы, называется критической точкой.

Чтобы определить критическую область, выбирают число q-уровень значимости. q- вероятность того, что при справедливости нулевой гипотезы значение критерия К попадает в критическую область. Тогда для правосторонней критической области Ккр определяется из условия:

P { K > Kkp } = q.

Який критерій називають критерієм згоди? Сформулюйте гіпотези, що перевіряються. Запишіть статистику критерію .

Критерієм згодиназивають критерій перевірки гіпотези про передбачуваний закон розподілу генеральної сукупності.

Критерій згоди застосовується для зіставлення емпіричного розподілу ознаки з теоретичним - рівномірним, нормальним або якимось іншим;

Критерій згоди відповідає на запитання про те, чи випадкова розбіжність емпіричних і теоретичних частот. Можливо, що розбіжність випадкова (незначуща) і пояснюється або малим числом спостережень, або способом їхнього групування, або іншими причинами. Можливо, що розбіжність частот невипадкова (значуща) і пояснюється тим, що теоретичні частоти обчислені виходячи з невірної гіпотези про передбачуваний розподіл генеральної сукупності.

Можливі наступні варіанти гіпотез, що перевіряються:

Н₀: емпіричний розподіл ознаки не відрізняється від теоретичного (наприклад, нормального) розподілу.

Н₁: емпіричний розподіл ознаки відрізняється від теоретичного розподілу.

Гіпотеза вірна, якщо теоретичні й емпіричні частоти досить мало відрізняються друг від друга. Для перевірки гіпотези за допомогою критерію згоди Пірсона як міра розбіжності використовується статистика :

, (4.1)

де величини й , називаються відповідно емпіричними й теоретичними частотами, – теоретична ймовірність влучення значень випадкової величини в інтервал , – число інтервалів емпіричного розподілу (варіаційного ряду).

Статистика має -розподіл із ступенями свободи, де – число параметрів теоретичного розподілу.

Чим гірше погоджені теоретичний і емпіричний розподіли, тим більше емпіричне значення критерію . Нульова гіпотеза відхиляється при досить великому значенні .

Як визначаються теоретичні частоти й імовірності влучення значень випадкової величини в інтервал при використанні критерію згоди ?

Для розрахунку ймовірностей , влучення випадкової величини в інтервал використовуємо інтегральну функцію Лапласа у відповідності із властивістю нормального розподілу:

. (4.3)

Позначивши через , , запишемо формулу (4.3) у вигляді

Сформулюйте послідовність етапів перевірки гіпотези про нормальний закон розподілу.

Для того, щоб за допомогою критерію при заданому рівні значущостіaперевірити нульову гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності необхідно:

1. По виду гістограми частот сформулювати гіпотезу про нормальний закон розподілу генеральної сукупності.

2. Визначити міру розбіжності емпіричних і теоретичних частот по формулі (4.1).

3. Для заданого рівня значущості й числа ступенів свободи по таблиці розподілу знайти критичну точку .

4. Прийняти рішення:

– якщо фактично спостережуване значення менше або дорівнює критичного, тобто , те немає підстав відкинути нульову гіпотезу ; тобто гіпотеза Н₀ не суперечить досвідченим даним;

– якщо , те при рівні значущості гіпотеза Н₀ відхиляється, приймається альтернативна гіпотеза .

Теорія статистичної оцінки

1. Яка величина розуміється під статистичною оцінкою параметра ?

Точковою оцінкою невідомого параметру називають функцію від вибіркових значень випадкової величини, реалізація якої приймається за невідоме значення параметру , Для того, щоб оцінку можна було використовувати замість невідомого параметру , вона повинна бути спроможною, незміщеною та ефективною.

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 294; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 16 17 18 19 202122 23 24 25 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!