Методы построения сечений многогранников.
Существует три основных метода построения сечений многогранников: 1) Метод следов. (Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.) 2) Метод вспомогательных сечений (Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «скученными». Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.).
3) Комбинированный метод (Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов и методом вспомогательных сечений.).4)Координатный метод построения сечений.(Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.)
|
|
|
Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений. Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников: a)построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости; б)построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой; в)построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым; г)построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости; д)построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.
Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями. 1) Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые. 2) Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.
|
|
|
3) В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).
Признак скрещивающихся прямых.Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
a   b  = K K  a => a и b - скрещивающиеся прямые.
Теорема 1. Свойство скрещивающихся прямых. Скрещивающиеся прямые не определяют плоскость.Доказательство от противного. Пусть даны скрещивающиеся прямые а и b. Прямая а лежит в плоскости a, а прямая b пересекает плоскость a в точке А (АÏa). Пусть прямые а и b определяют плоскость β. Прямая а и точка А одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости β, значит, плоскости a и β совпадают,  следовательно, все точки плоскости β принадлежат плоскости a, Значит, прямая b принадлежит плоскости a, чего быть не может, так как по условию плоскость a и прямая b пересекаются. Пришли к противоречию, значит, прямые а и b не определяют плоскость. Ч.т.д.
|
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
Синус угла между скрещивающимися прямыми равен отношению длины проекции одной из прямых на плоскость, к которой другая прямая перпендикулярна, к её длине. Доказательство. Пусть а и с - скрещивающиеся прямые, a - плоскость перпендикулярная прямой а. Для простоты доказательства построим такой чертеж, где роль прямой а играет отрезок A1B1, прямой с - АС, плоскости a - прямоугольник ВСС1B1. Сделаем параллельный перенос отрезка A1B1 в прямую АВ. Угол между прямыми а и с есть угол между прямыми АВ и АС. Треугольник АВС прямоугольный (по построению). В нем ВС – проекция АС на плоскость ВСС1B1. Синус угла ВАС равен отношению отрезка ВС к АС. Другими словами синус угла между скрещивающимися прямыми а и с равен отношению длины проекции одной прямой на плоскость, в которой лежит другая, к длине этой же прямой.
|
|
|
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми нужно:
- Найти плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых;
- Ортогонально спроектировать вторую прямую на эту плоскость;
- Из точки пересечения плоскости первой прямой опустить перпендикуляр на проекцию второй прямой ( расм. на примере куба)
|
|
|
- Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.
рис.6. рис.7.
рис.8.
Теорема. Пусть плоскость 
задана общим уравнением 
, а прямая L задана каноническими уравнениями 
или параметрическими уравнениями 
, 
, в которых 
– координаты нормального вектора плоскости , 
– координаты произвольной фиксированной точки прямой L, 
– координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:
1) если 
, то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой 
можно найти из системы уравнений
; (7)
2) если 
и 
, то прямая лежит на плоскости;
3) если и 
, то прямая параллельна плоскости.
Доказательство. Условие 
говорит о том, что векторы 
и 
не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.
Если 
, то это означает, что 
. А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка 
– лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.
Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.
Теорема доказана.
Определение 1. Угол между прямой лежащей в одной плоскости с другой плоскостью есть угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость.
Теорема 1. Синус угла между прямой лежащей в одной плоскости с другой плоскостью равен произведению синуса угла между этими плоскостями на синус угла между прямой и ребром двугранного угла, о6разованного этими плоскостями.
Доказательство. Пусть даны плоскости a и b и прямая их пересечения с. А – точка, лежащая в плоскости b (и не лежащая в плоскости a). Точка О – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость a, В – произвольная точка на прямой с. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую с получим точку С. Соединим точки С и О. СО перпендикулярна прямой с по теореме о трех перпендикулярах (АС – наклонная, перпендикулярная прямой в плоскости с). 
Это тождество также называют формулой связи синусов. Обычно говорят просто - связь синусов (используя связь синусов, получаем...).
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 1866; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!